📂複素解析

ジョルダンの補題の証明

定理 ¹

半円弧$\Gamma$を$z(\theta) = R e^{i \theta} , 0 \le \theta \le \pi$として表した時、関数$f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}$が$\Gamma$で連続であり、さらに$\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = 0$であれば、任意の正の$m \in \mathbb{R}^{+}$に対して $$\lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} e^{m i z } f(z) dz = 0$$

説明

[ジョルダン]^jordanという発音は、コングリッシュではなくフランス語から来ている。補題なので、その意味をすぐに把握するのは難しく、様々な積分テクニックに使われる程度を知っておけば十分だ。証明は面倒に見えるが、意外と何もないので、一度はしっかり学んでみるのも悪くない。

フーリエ変換

フーリエ変換: $$\mathcal{F}f(\xi):=\int _{-\infty} ^{\infty}f(x)e^{-i \xi x}dx$$

$-\xi = m > 0$であり、連続関数$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$が$\lim_{x \to \infty} f(x) = 0$を満たすならば、形式的にはジョルダンの補題の被積分関数はフーリエ変換で現れる形と似ている。

証明

まず、 $$\begin{align*} \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| =& \left| \int_{0}^{\pi} e^{m i z} dz \right| \\ \le & \int_{0}^{\pi} \left| e^{m i R \cos{\theta}} \right| \left| e^{- m R \sin{\theta}} \right| \left| i R e^{i \theta} \right| d \theta \\ =& R \int_{0}^{\pi} e^{-m R \sin \theta} d \theta \\ =& 2 R \int_{0}^{\pi/2} e^{-m R \sin \theta} d \theta \end{align*}$$ が有界であることを示す。$0 = \sin 0$であり、 $${{ 2 } \over { \pi }} = \left. {{ d } \over { d \theta }} {{ 2 \theta } \over { \pi }} \right|_{\theta = 0} < \left. {{ d } \over { d \theta }} \sin \theta \right|_{\theta = 0} = 1$$ したがって$\displaystyle \theta \in \left[ 0 , {{\pi} \over {2}} \right]$では$\displaystyle {{2} \over {\pi}} \theta \le \sin{\theta}$である。指数関数に行けば、$\displaystyle e^{-m R \sin \theta} \le e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta }$であるため、 $$\begin{align*} \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| \le & 2 R \int_{0}^{\pi/2} e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta} d \theta \\ =& 2R \left[ - {{ \pi } \over { mR 2 }} e^{-m R {{2} \over {\pi}} \theta} \right]_{0}^{ \pi / 2} \\ =& {{\pi} \over {m}} (1 - e^{-mR} ) \\ <& {{\pi} \over {m}} \end{align*}$$ すなわち、有界であることが示された。仮定から$f$は$\Gamma$上で連続であり$\displaystyle \lim_{z \to \infty} f(z) = 0$であるため、任意の$\varepsilon >0$に対して $$\left| {{1} \over {z}} \right| < \delta \implies |f(z)| < \varepsilon$$ これを満たす$\delta > 0$が存在するだろう。$\Gamma$上で$|z|=R$であるため、$R$に関して整理すると、 $${{1} \over {R}} < \delta \implies |f(z)| < \varepsilon$$ すなわち、任意の$\varepsilon >0$に対して $${{1} \over {R}} < \delta \implies \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} f(z) dz \right| < \varepsilon \left| \int_{\Gamma} e^{m i z} dz \right| < {{ \varepsilon \pi} \over {m}}$$ これを満たす$\delta > 0$が存在し、次のことが得られる。 $$\lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma} e^{m i z } f(z) dz = 0$$

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