📂幾何学

測地線の一意性定理

定理¹

点$p$を曲面$M$上の点としよう。$\mathbf{X} \in T_{p}M$を点$p$での接ベクトルの単位ベクトルとしよう。すると、以下の初期値条件を満たす測地線$\boldsymbol{\gamma} : (-\epsilon, \epsilon) \to M$が唯一存在する。

$$\boldsymbol{\gamma} (0) = p \quad \text{and} \quad \boldsymbol{\gamma}^{\prime}(0) = \mathbf{X}$$

解説

この定理は、少なくとも局所的には、曲面上の二点を結ぶ最短距離の直線が存在すると言っている。

全域的な領域では、最短距離の測地線の存在を保証することはできない。簡単な例として、原点を含まない単位円を考えてみよう。すると、以下の図のように、点$a$から$b$への最短距離の直線は存在しないとわかる。

証明

戦略： 微分幾何学において、存在性と一意性に関する定理はほとんどが常微分方程式(ODE)システムの解の存在を示すピカールの定理によって証明される。

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$\mathbf{x}$を点$p$に対して$p = \mathbf{x}(0,0)$を満たす座標チャート写像としよう。$(u^{1}, u^{2})$は$\mathbf{x} : U \to M$から$U$への座標である。$\mathbf{X} = \sum \limits_{i} X^{i}\mathbf{x}_{i}$を接ベクトルとしよう。$\boldsymbol{\gamma}(s) = \mathbf{x}(\gamma^{1}(s), \gamma^{2}(s))$としよう。これで、以下のようなODEシステムの初期値問題を考えよう。

$$\begin{align} (\gamma^{k})^{\prime \prime} =&\ -\sum_{i,j}{\Gamma_{ij}}^{k}(\gamma^{i})^{\prime} (\gamma^{j})^{\prime} \\ \gamma^{i}(s_{0}) =&\ 0 \nonumber \\ (\gamma^{i})^{\prime}(s_{0}) =&\ X^{i} \nonumber \end{align}$$

すると、ピカールの定理により、$s_{0}$のある近傍でこのODEシステムの解が唯一存在する。単位速度曲線$\boldsymbol{\gamma}$が$(1)$を満たすことが測地線であるための必要十分条件なので、今、このような$\boldsymbol{\gamma}$が単位速度であるかだけをチェックすればよい。

$f(s) = \left| \boldsymbol{\gamma}^{\prime}(s) \right|^{2} = \sum\limits_{i,j} g_{ij}(\gamma^{i})^{\prime}(s)(\gamma^{j})^{\prime}(s)$としよう。証明を終えるために、$f(s) = 1$であることを示せばよい。連鎖律により、$\dfrac{d g_{ij}}{d s} = \sum\limits_{k} \dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^{k}}(\gamma^{k})^{\prime}$であるので、

$$f^{\prime}(s) = \sum\limits_{i,j,k}\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^{k}}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime} + \sum\limits_{i,j} g_{ij}(\gamma^{i})^{\prime \prime}(\gamma^{j})^{\prime} + \sum\limits_{i,j} g_{ij}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime \prime}$$

この時、$\dfrac{\partial g_{ij}}{\partial u^{k}} = \dfrac{\partial \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle}{\partial u^{k}} = \left\langle \mathbf{x}_{ik}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle + \left\langle \mathbf{x}_{i}, \mathbf{x}_{jk} \right\rangle$であり、$\left\langle \mathbf{x}_{ik}, \mathbf{x}_{j} \right\rangle = \sum\limits_{l}{\Gamma_{ik}}^{l}g_{lj}$が成立するので、一つ目の項に代入すると以下を得る。

$$\begin{align*} f^{\prime}(s) =&\ \sum\limits_{i,j,k,l}g_{li}{\Gamma_{jk}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime} + \sum\limits_{i,j,k,l}g_{lj}{\Gamma_{ik}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime}\\ &+ \sum\limits_{i,j} g_{ij}(\gamma^{i})^{\prime \prime}(\gamma^{j})^{\prime} + \sum\limits_{i,j} g_{ij}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime \prime} \end{align*}$$

三つ目、四つ目の項のダミーインデックスを交換して整理すると以下を得る。

$$\begin{align*} f^{\prime}(s) =&\ \sum\limits_{i,j,k,l}g_{li}{\Gamma_{jk}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime} + \sum\limits_{i,j,k,l}g_{lj}{\Gamma_{ik}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime}\\ &+ \sum\limits_{l,i} g_{li}(\gamma^{l})^{\prime \prime}(\gamma^{i})^{\prime} + \sum\limits_{j,l} g_{jl}(\gamma^{j})^{\prime}(\gamma^{l})^{\prime \prime} \\ =&\ \sum\limits_{i,j,k,l}g_{li}\left[ (\gamma^{l})^{\prime \prime} + {\Gamma_{jk}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{j})^{\prime} \right] (\gamma^{i})^{\prime} + \sum\limits_{i,j,k,l}g_{lj}\left[ (\gamma^{l})^{\prime \prime} + {\Gamma_{ik}}^{l}(\gamma^{k})^{\prime}(\gamma^{i})^{\prime} \right] (\gamma^{j})^{\prime} \end{align*}$$

この時、各括弧内の式は、$\boldsymbol{\gamma}$が$(1)$を満たすので、$0$である。したがって、$f^{\prime}(s) = 0$であり、$f$は定数である。しかし、$\mathbf{X}$を単位ベクトルと仮定していたので、

$$f(s_{0}) = \left| \boldsymbol{\gamma}^{\prime}(s_{0}) \right|^{2} = \left| \mathbf{X} \right|^{2} = 1$$

従って、$f = 1$であり、$\boldsymbol{\gamma}$は単位速度曲線である。

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