📂数理物理学

三次元ユークリッド空間における外積

定義

$\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbb{R}^3$ に対して**$\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$の外積**^{cross product} を定義する。

$$\begin{align*} \mathbf{x} \times \mathbf{y} =& (x_{2}y_{3} - x_{3}y_{2}, x_{3}y_{1} - x_{1}y_{3}, x_{1}y_{2} - x_{2}y_{1}) \\ =& \det \begin{bmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ y_{1} & y_{2} & y_{3} \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} 0 & -x_{3} & x_{2} \\ x_{3} & 0 & -x_{1} \\ -x_{2} & x_{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{bmatrix} \end{align*}$$

説明

ちなみに$\mathbf{i} = (1,0,0)$、$\mathbf{j} = (0,1,0)$、$\mathbf{k} = (0,0,1)$ だ。内積と同様に外積ももっと一般的な定義が可能だけど、実用的な面では通常三次元に限って考えることが多い。この三次元空間での定義はベクトル積という名前もあるけど、厳格に区別する時だけ使われる。最も使われるのは物理学で、トルクやローレンツ力などを表すときに頻繁に登場する。幾何学的な形も右ねじの法則を思い出せば簡単に想像できる。外積の性質をいくつか証明なしで紹介する。

性質

$\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z} \in \mathbb{R}^3$ と $k \in \mathbb{R}$ に対して以下が成り立つ。

(1) $\mathbf{x} \times \mathbf{x} = 0$

(2) 反交換性^{anti commutativity}: $\mathbf{x} \times \mathbf{y} = -\mathbf{y} \times \mathbf{x}$

(3) $(k \mathbf{x}) \times \mathbf{y} = k (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = \mathbf{x} \times (k \mathbf{y})$

(4) $\mathbf{x} \times ( \mathbf{y}+ \mathbf{z} )= (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) + (\mathbf{x} \times \mathbf{z})$

(5) スカラー三重積: $(\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} = \mathbf{x} \cdot ( \mathbf{y} \times \mathbf{z})$

(6) ベクトル三重積(bac-cab公式): $\mathbf{x} \times ( \mathbf{y} \times \mathbf{z} ) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z}$

(7) $|| \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} ||^2 = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} ) ( \mathbf{y} \cdot \mathbf{y} ) - ( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} )^2$

(8) $|| \mathbf{x} \times \mathbf{y} || = || \mathbf{x} || || \mathbf{y} || \sin{\theta}$

(9) $\mathbf{x} \times \mathbf{y} \ne \mathbb{0}$ の場合、$\mathbf{x} \times \mathbf{y}$は$\mathbf{x}$と$\mathbf{y}$に垂直である。

---

交換法則が成り立たないため、直感的に理解しにくい性質が多い。問題を解いたり、紙に書きながら慣れるようにしよう。