📂Calculus

Absolute and conditional convergence of series

정의¹

급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}$에 대해서, $\sum\limits_{n=0}^{\infty} |a_{n}|$이 수렴하면 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}$이 절대수렴한다고 말한다.

설명

주의할 점은 주어진 급수가 아니라 “급수의 각 항에 절댓값을 씌운 급수"가 수렴할 때, 주어진 급수를 절대수렴한다고 말한다는 것이다. 이는 수렴하는 급수가 절대수렴하지 않을 수도 있다는 것을 의미한다. 교대조화급수를 생각해보면, 이 급수는 수렴하지만 조화 급수는 수렴하지 않는다. 이러한 경우에 교대조화급수가 조건부수렴한다고 말한다.

조건부수렴

급수 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}$이 수렴하지만 $\sum\limits_{n=0}^{\infty} |a_{n}|$이 발산할 때, $\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_{n}$이 조건부수렴한다고 말한다.

정리

급수 $\sum a_{n}$이 절대수렴하면, 수렴한다.

증명

부등식 $0 \le a_{n} + |a_{n}| \le 2 |a_{n}|$가 성립한다. $\sum a_{n}$이 절대수렴하므로, $\sum 2 |a_{n}|$도 수렴한다. 그러면 비교판정법에 의해 $\sum a_{n} + |a_{n}|$도 수렴한다. 따라서 $\sum a_{n}$은 아래와 같이 수렴하는 두 급수의 차이이므로 수렴한다.

$$ \sum a_{n} = \sum (a_{n} + |a_{n}|) - \sum |a_{n}| \lt \infty $$

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