Uniform Convergence and Continuity of Function Sequences
정리1
거리공간 $E$위에서 함수열 $\left\{ f_{n} \right\}$이 $f$로 균등 수렴한다고 하자.
$$ f_{n} \rightrightarrows f $$
$E$의 집적점 $x$에 수열 $A_{n}(x)$을 다음과 같다고 하자.
$$ A_{n}(x) = \lim\limits_{t \to x} f_{n}(t) $$
그러면 $\left\{ A_{n}(x) \right\}$은 수렴하고, 그 극한은 다음과 같다.
$$ \lim\limits_{n \to \infty} A_{n}(x) = \lim\limits_{t \to x} f(t) $$
다시 말해 다음이 성립한다.
$$ \lim \limits_{n\to \infty}\lim \limits_{t\to x}f_{n}(t) = \lim \limits_{t\to x}\lim \limits_{n\to \infty}f_{n}(t) \tag{1} $$
따름 정리
만약 $f_{n}$이 $x \in E$에서 연속이고 $f_{n}$이 $f$로 균등수렴하면, $f$도 $x$에서 연속이다.
$$ \lim \limits_{t \to x }f_{n}(t)=f_{n}(x) \implies \lim \limits_{t \to x }f(t)=f(x) $$
설명
정리의 결과 $(1)$은 두 극한 기호 $\lim \limits_{n \to \infty}$와 $\lim\limits_{t \to x}$의 자리를 서로 바꾸어도 값이 변하지 않는다는 것을 말한다. 또한 균등수렴은 연속성을 보존한다고 말할 수 있다.
연속성과 관련하여 함수열의 균등수렴을 생각하는 이유는, 점별수렴은 연속성을 보존하지 않기 때문이다.
반례2
연속(미분가능한)함수들의 함수열 $f_{n}$이 $f$로 점별수렴하는 것이, $f$가 연속(미분가능)이라는 것을 보장하지 않는다.
증명
함수 $f_{n}(x) = x^{n}$은 $[0, 1]$에서 연속(미분가능)이다. 그리고 함수 $f$를 다음과 같이 정의하자.
$$ f (x) = \begin{cases} 0 & \text{if } 0 \le x \lt 1 \\ 1 & \text{if } x = 1 \end{cases} $$
그러면 모든 점 $x \in [0, 1]$에서 $f_{n}(x)$는 $f(x)$로 점별 수렴한다. 하지만 명백하게 $f$는 $x = 1$에서 연속(미분가능)이 아니다.
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증명
작은 양수 $\varepsilon >0$이 주어졌다고 하자. 가정에 의해 $\left\{ f_{n} \right\}$이 $f$로 균등수렴하고, 그것은 모든 $t \in E$에 대해서 $\left\{ f_{n}(t) \right\}$가 코시수열인 것과 동치이므로 다음을 만족하는 자연수 $N$이 존재한다.
$$ n, m \ge N, t \in E \implies \left| f_{n}(t)-f_{m}(t) \right| \lt \varepsilon $$
또한 위 식에 $t \to x$인 극한을 취하면 다음을 얻는다. $n, m \ge N$에 대해,
$$ \left| A_{n} - A_{m} \right| \lt \varepsilon $$
따라서 $\left\{ A_{n}(x) \right\}$는 코시수열이므로 수렴한다. 그 극한을 $A$라 두자.
$$ A = \lim\limits_{n \to \infty} A_{n} $$
그리고 다음의 부등식을 고려하자.
$$ \left| f(t) - A \right| \le \left| f(t) - f_{n}(t) \right| + \left| f_{n}(t) - A_{n} \right| + \left| A_{n} - A \right| \tag{2} $$
이제 $f_{n} \to f$이고 $A_{n} \to A$이므로, 다음의 두 식을 만족하는 $n$을 하나를 선택하자.
$$ \left| f(t) - f_{n}(t) \right| \le \frac{\varepsilon}{3} \quad \forall t \in E $$
$$ \left| A_{n} - A \right| \le \frac{\varepsilon}{3} $$
그리고 이렇게 선택된 $n$에 대해서, ($A_{n}(x) = \lim\limits_{t \to x} f_{n}(t)$이므로) 다음을 만족하는 $x$의 근방 $V$를 선택할 수 있다.
$$ \left| f_{n}(t) - A_{n}(x) \right| \le \frac{\varepsilon}{3} \qquad x \ne t \in V \cap E $$
이제 부등식 $(2)$와 위의 결과들로부터 다음을 얻는다.
$$ \left| f(t) - A \right| \le \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon \qquad x \ne t \in V \cap E $$
이는 다시 적으면 아래와 같다.
$$ \left| f(t) - \lim\limits_{n \to \infty} A_{n}(x) \right| \le \varepsilon \qquad x \ne t \in V \cap E $$
그러므로 다음이 성립한다.
$$ \lim\limits_{t \to x} f(t) = \lim\limits_{n \to \infty} A_{n}(x) $$
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따름정리 증명3
아래의 증명은 따름정리를 본 정리의 결과를 사용하지 않고 보이는 것이다.
$\varepsilon >0$이 주어졌다고 하자. $\left\{ f_{n} \right\}$이 $f$로 균등수렴하므로 정의에 다음을 만족하는 자연수 $N$이 존재한다.
$$ \begin{equation} n\ge N,\ t\in E \implies \left| f_{n}(t)-f(t) \right| < \frac{\varepsilon}{3} \label{eq1} \end{equation} $$
$f_{n}$이 $x$에서 연속이라고 가정했으므로 다음을 만족하는 $\delta >0$가 존재한다.
$$ \begin{equation} \left| t-x \right|<\delta \implies \left| f_{n}(t)-f_{n}(x) \right|\le \frac{\varepsilon}{3} \label{eq2} \end{equation} $$
따라서 $(1), (2)$에 의해 $\left| t-x \right| \lt \delta$일 때 다음의 식이성립한다.
$$ \begin{align*} \left| f(t)-f(x) \right| &= \left| f(t)-f_{n}(t)+f_{n}(t)-f_{n}(x)+f_{n}(x)-f(x) \right| \\ &\le \left| f(t)-f_{n}(t)\right|+\left| f_{n}(t)-f_{n}(x) \right|+ \left| f_{n}(x)-f(x) \right| \\ &\le \frac{\varepsilon}{3}+ \frac{\varepsilon}{3} + \frac{\varepsilon}{3} \\ &= \varepsilon \end{align*} $$
따라서 $f$는 $x$에서 연속이다.
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