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생일 문제: 생일이 같을 확률 📂보조정리

생일 문제: 생일이 같을 확률

공식

윤년을 무시하고 11년을 365365일이라 하자. nn명의 사람이 모여있을 때, 생일이 겹치는 사람이 있을 확률은 다음과 같다.

p(n)=1−365!365n(365−n)! p(n) = 1 - \dfrac{365!}{365^n(365-n)!}

설명

필자의 중학교 시절, 수학책의 어느 단원(아마 높은 확률로 순열과 조합)의 마지막에 "더 알아보기" 내지는 "심화 내용"으로 위 공식이 소개돼있었던 기억이 난다. 각자의 생일은 365365개 중에 하나이므로, 생일이 겹치는 사람이 있으려면 직관적으로는 꽤 많이 모여야할 것 같은데, 사실은 그렇지 않은게 신기했었다. 실제로 선생님과 함께 우리 반 모두의 생일을 조사해보았는데, 약 3535명 정도의 인원이었음에도 생일이 겹치는 짝이 두 경우나 있어 책이 거짓말(?)한 게 아니라는 것도 확인할 수 있었다. 물론 아래의 표를 보면 3535명은 생일이 겹치기에 충분한 인원이라는 것을 알 수 있다.

아래의 표는 공식을 통해 실제 확률을 계산한 것이다. 처음에는 확률이 엄청 작아보이지만, 2323명만 모여도 생일이 겹치는 사람이 있을 확률이 절반이 넘어가고, 4141명이 모이면 누군가가 생일이 겹칠 확률이 90%90\%를 넘게된다.

nnp(n)p(n)nnp(n)p(n)
2200.27%00.27 \%151525.29%25.29 \%
3300.82%00.82 \%202041.14%41.14 \%
4401.64%01.64 \%232350.73%50.73 \%
5502.71%02.71 \%252556.87%56.87 \%
6604.05%04.05 \%303070.63%70.63 \%
7705.62%05.62 \%353581.44%81.44 \%
8807.43%07.43 \%404089.12%89.12 \%
9909.46%09.46 \%414190.32%90.32 \%
101011.70%11.70 \%

유도

nn명이 모여있을 때 생일이 겹치는 사람이 존재할 확률 p(n)p(n)은, 모든 사람의 생일이 서로 다를 확률 p~(n)\tilde{p}(n)으로 나타낼 수 있다.

p(n)=1−p~(n) p(n) = 1 - \tilde{p}(n)

우선 두 명이 있다고 해보자. 이 둘의 생일이 서로 다르려면, 두번째 사람이 첫번째 사람의 생일과 다르기만 하면 된다. 즉 365365일 중 첫번째 사람의 생일을 제외한 364364일 중 하루가 두번째 사람의 생일이면 된다.

p~(2)=364365 \tilde{p}(2) = \dfrac{364}{365}

세 사람이 모두 다른 생일을 가지려면, 위의 경우에서 세번째 사람이 첫번째 사람, 두번째 사람의 생일과 다르면 된다. 세번째 사람의 생일은 남은 363363일 중에서 하루이면 되므로, 세 명 모두의 생일이 다를 확률은,

p~(3)=364365×363365 \tilde{p}(3) = \dfrac{364}{365} \times \dfrac{363}{365}

같은 방식으로 네 사람의 생일이 모두 다를 확률은,

p~(4)=364365×363365×362365 \tilde{p}(4) = \dfrac{364}{365} \times \dfrac{363}{365} \times \dfrac{362}{365}

nn명의 생일이 모두 다를 확률은 아래와 같다.

p~(n)=364365×363365×362365×⋯×365−(n−1)365 \tilde{p}(n) = \dfrac{364}{365} \times \dfrac{363}{365} \times \dfrac{362}{365} \times \cdots \times \dfrac{365-(n-1)}{365}

따라서 nn명이 모여있을 때 생일이 겹치는 사람이 있을 확률은 다음과 같다.

p(n)=1−p~(n)=1−364365×363365×⋯×365−(n−1)365=1−364365×363365×⋯×365−(n−1)365×365−n365−n×⋯×22×11=1−364!365n−1(365−n)!=1−365!365n(365−n)! \begin{align*} p(n) &= 1 - \tilde{p}(n) \\[1em] &= 1 - \dfrac{364}{365} \times \dfrac{363}{365} \times \cdots \times \dfrac{365-(n-1)}{365} \\[1em] &= 1 - \dfrac{364}{365} \times \dfrac{363}{365} \times \cdots \times \dfrac{365-(n-1)}{365} \times \dfrac{365-n}{365-n} \times \cdots \times \dfrac{2}{2} \times \dfrac{1}{1} \\[1em] &= 1 - \dfrac{364!}{365^{n-1}(365-n)!} \\[1em] &= 1 - \dfrac{365!}{365^n(365-n)!} \end{align*}

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