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야코비 행렬 혹은 자코비 행렬이란 📂다변수벡터해석

야코비 행렬 혹은 자코비 행렬이란

정의

D⊂RnD \subset \mathbb{R}^{n} 에서 정의된 다변수 벡터 함수 f:D→Rm\mathbf{f} : D \to \mathbb{R}^{m} 가 각각의 스칼라 함수 f1,⋯ ,fm:D→Rf_{1} , \cdots , f_{m} : D \to \mathbb{R} 에 대해

f(x1,⋯ ,xn):=[f1(x1,⋯ ,xn)⋮fm(x1,⋯ ,xn)] \mathbf{f} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) : = \begin{bmatrix} f_{1} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) \\ \vdots \\ f_{m} ( x_{1} , \cdots , x_{n} ) \end{bmatrix}

과 같이 정의되었다고 하자.

J:=[∂f1∂x1⋯∂f1∂xn⋮⋱⋮∂fm∂x1⋯∂fm∂xn] J := \begin{bmatrix} {{\partial f_{1} } \over {\partial x_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{1} } \over {\partial x_{n} }} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {{\partial f_{m} } \over {\partial x_{1} }} & \cdots & {{\partial f_{m} } \over {\partial x_{n} }} \end{bmatrix}

을 f\mathbf{f} 의 야코비 행렬이라 한다.

설명

다음과 같은 표기도 많이 쓰인다.

J=∂(f1,…fm)∂(x1,…,xn) J = \dfrac{\partial (f_{1}, \dots f_{m})}{\partial (x_{1}, \dots, x_{n})}

f\mathbf{f} 의 야코비 행렬은 Df:=JD \mathbf{f} := J 이 되도록 하는 연산자 DD 를 정의해서 나타내기도 한다.야코비 행렬이라는 명칭은 19세기 독일의 수학자였던 칼 구스타프 야콥 야코비Carl Gustav Jacob Jacobi에게서 따온 것이므로 야코비 행렬이라고 적고 읽는 게 맞지만, 사실 JJ 는 ‘자코비안’으로 읽히는 경우가 아주 많다.

전 도함수total derivative라고도 하며, 다변수 벡터함수의 도함수를 의미한다. 따라서 다변수 함수에 대해 야코비 행렬이 존재하면 미분가능 하다고 하며, 오히려 반대로 미분가능한 함수 f:R→Rf : \mathbb{R} \to \mathbb{R} 가 1×11 \times 1 사이즈의 야코비 행렬을 가진다고 생각할 수도 있다. 쉽게 말해서 야코비안 행렬은 벡터함수의 미분계수 행렬이다.

보통은 극좌표와 함께 미적분학에서 처음 접하게 되는데,

∫B∫Af(x,y)dxdy \int_{B} \int_{A} f(x,y) dx dy

에서 사용하는 직교좌표를 x=rcos⁡θx= r \cos \theta, y=rsin⁡θy= r \sin \theta 와 같이 바꾸면 알다시피

∫B∫Af(rcos⁡θ,rsin⁡θ)rdrdθ \int_{B} \int_{A} f( r \cos \theta , r \sin \theta ) r dr d \theta

와 같이 rr 이 하나 더 붙는다. 이것은

[∂x∂r∂x∂θ∂y∂r∂y∂θ]=[cos⁡θsin⁡θ−rsin⁡θrcos⁡θ] \begin{bmatrix} {{\partial x } \over {\partial r }} & {{\partial x } \over {\partial \theta }} \\ {{\partial y } \over {\partial r }} & {{\partial y } \over {\partial \theta }} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -r \sin \theta & r \cos \theta \end{bmatrix}

의 행렬식이 rcos⁡2θ+rsin⁡2θ=rr \cos^2 \theta + r \sin^2 \theta = r 와 같이 구해지기 때문이다. 같은 센스에서, 야코비 행렬은 고등학교에서 적분의 변수 치환을 할 때 이미 접한 개념이나 마찬가지다. 예를 들어

∫01(27x3+9x2+3x)dx \int_{0}^{1} ( 27x^3 + 9 x^2 + 3 x ) dx

를 계산할 때 3x=y3x = y 과 같은 치환을 한다고 생각해보자. 이것을 yy 가 xx 에 대한 함수 y(x)=3xy(x) = 3x 라고 보면 그 야코비 행렬은

[∂3x∂x]=[3] \begin{bmatrix} {{\partial 3x } \over {\partial x }} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \end{bmatrix}

이 된다. 이는 3x=y3x = y 의 양변을 각자의 변수로 미분해서 3dx=dy3dx = dy 을 얻는 것과 같다.

같이보기