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함수값의 평균 📂해석개론

함수값의 평균

정의

구간 [a, b][a,\ b]에서 f(x)f(x)의 평균값은 구간에 대해서 적분한 다음 구간의 길이로 나눠준 것과 같다.

1b−a∫abf(x)dx \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^bf(x)dx

유도

구간 [a, b][a,\ b]의 분할을 PP라고 하자.

P={x1, x2, ⋯ , xn} P=\left\{ x_{1},\ x_{2},\ \cdots ,\ x_{n} \right\}

이때, a=x1<x2<⋯<xn=ba=x_{1} < x_{2} < \cdots < x_{n}=b이고 각 점의 사이의 거리는 같다. 그리고 Δx=xi+1−xi\Delta x=x_{i+1}-x_{i}. f(xi)f(x_{i})의 합을 nn으로 나눠서 f(x)f(x)의 평균값을 어림하려고 한다.

f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn)n \dfrac{ f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_{n}) } {n}

이는 nn이 커질수록 함숫값들의 평균에 점점 가까워질 것이다. 분자와 분모에 Δx\Delta x를 곱하면 아래와 같다.

(f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn))ΔxnΔx \dfrac{\Big( f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_{n}) \Big)\Delta x} {n \Delta x}

nΔx=b−an\Delta x=b-a이므로 다음과 같다.

(f(x1)+f(x2)+⋯+f(xn))Δxb−a \dfrac{\Big( f(x_{1}) + f(x_{2}) + \cdots +f(x_{n}) \Big)\Delta x} {b-a}

n→∞n \rightarrow \infty이고 Δx→0\Delta x \rightarrow 0인 극한을 취하면 분자는 ∫abf(x)dx\int_{a}^bf(x)dx와 같다.

1b−a∫abf(x)dx \dfrac{1}{b-a}\int_{a}^bf(x)dx

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예제

삼각함수의 한 주기 평균은 00이다.

  • 코사인 함수

    cos⁡(kx)\cos (kx)의 한주기 평균을 구해보면 다음과 같다. ∫02πkcos⁡(kx)dx=1k[sin⁡(kx)]02πk=1k(sin⁡2π−sin⁡0)=0 \int_{0}^\frac{2\pi}{k} \cos(kx)dx = \dfrac{1}{k}\left[ \sin(kx)\right]_{0}^{\frac{2\pi}{k}} =\dfrac{1}{k}(\sin 2\pi -\sin 0 ) =0

  • 사인 함수

    sin⁡(kx)\sin (kx)의 한주기 평균을 구해보면 다음과 같다. ∫02πksin⁡(kx)dx=−1k[cos⁡(kx)]02πk=−1k(cos⁡2π−cos⁡0)=0 \int_{0}^\frac{2\pi}{k} \sin(kx)dx = \dfrac{-1}{k}\left[ \cos(kx)\right]_{0}^{\frac{2\pi}{k}} =\dfrac{-1}{k}(\cos 2\pi -\cos 0 ) =0

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