📂동역학

어트랙팅 셋의 베이신

정의 ¹

공간 $\mathbb{R}^{p}$ 와 스무스한 함수 $f , g : \mathbb{R}^{p} \to \mathbb{R}^{p}$ 에 대해 동역학계가 다음과 같이 벡터필드 혹은 맵으로 표현된다고 하자. $$ \dot{x} = f(x) \\ x \mapsto g(x) $$ $\phi (t, \cdot)$ 은 벡터필드 $\dot{x} = f(x)$ 의 플로우, $g^{n}$ 는 맵 $g$ 를 $n$ 번 취한 맵을 나타내도록 하자.다음과 같이 정의된 집합들을 어트랙팅 셋 $A$ 의 베이신^basin이라고 한다.

• Vector Field $$\displaystyle \bigcup_{t \le 0} \phi ( t, U )$$
• Map $$\displaystyle \bigcup_{n \le 0} g^{n} ( U )$$

설명

베이신은 우리에게 익숙한 단어가 아닌데, 정의 그 자체보다는 개념적으로 이해하는 것이 중요하다.

수학 외의 분야에서 베이신이라고 부르는 것은 위의 사진과 같이 오목한 형태의 물건이나 산으로 둘러싸인 지형을 의미하는 분지盆地정도다. 그런데 이러한 말들은 실제로 베이신을 이해하는데 꽤 도움이 된다.

위와 같이 오목한 세면대 위에 빨간 구슬 하나를 올려놓았다고 생각해보자. 구슬은 중력에 이끌려서 배수구 쪽으로 움직일 것이다. 운동에너지가 남아있다면 배수구를 지나쳐서 다시 비탈을 오를 순 있겠지만, 결국에는 배수구가 있는 곳에서 멈추게 될 것이다. 세면대는 아무 짓도 안 해도 물이 알아서 배수구로 빠지도록 설계되어 있기 때문이다. 이러한 센스에서 배수구는 세면대의 고정점, 세면대는 배수구의 베이신이 된다.

조금만 더 추상적으로 접근하자면, 위와 같은 곡면 위에 랜덤하게 공 하나를 떨어뜨린다고 했을 때 고정점은 딱 세 개다. 정확하게 $\color{red}{b}$ 에 떨어뜨린다면 왼쪽으로도, 오른쪽으로도 움직일 이유가 없고, $\color{green}{a}$ 와 $\color{green}{c}$ 에 떨어지면 더 이상 떨어질 곳이 없다.

그러면 $\color{red}{b}$ 의 베이신은 정확히 $b$ 하나만을 포함하는 싱글톤 셋 $\left\{ b \right\}$ 가 된다. [ NOTE: 수학적으로 피리어딕 포인트 그 자신은 반드시 베이신에 포함된다. ] $\color{green}{a}$ 의 베이신은 빨간 선을 기준으로 왼쪽, $\color{green}{c}$ 의 베이신은 빨간 선을 기준으로 오른쪽이다.

다시 말해, 초기값이 어느 피리어딕 포인트의 베이신에 속하느냐에 따라 그 결과를 미리 알 수 있는 것이다. 피리어딕 포인트의 입장에서는 결국 자신에게 수렴할 초기값들의 집합이 되는 것이고, 시스템의 입장에선 피리어딕 포인트들에 의해 만들어지는 파티션이 된다.