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위너 프로세스 📂확률론

위너 프로세스

정의

s<t<t+us< t < t+u 라고 할 때, 다음의 조건들을 만족하는 확률과정 {Wt}\left\{ W_{t} \right\} 를 위너 프로세스라 한다.

  • (i): W0=0W_{0} = 0
  • (ii): (Wt+u−Wt)⊥Ws\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \perp W_{s}
  • (iii): (Wt+u−Wt)∼N(0,u)\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \sim N ( 0, u )
  • (iv): WtW_{t} 의 샘플 패스는 거의 어디서나 연속이다.

기초 성질

  • [1]: Wt∼N(0,t)\displaystyle W_{t} \sim N ( 0 , t )
  • [2]: E(Wt)=0\displaystyle E ( W_{t} ) = 0
  • [3]: Var⁡(Wt)=t\displaystyle \operatorname{Var} ( W_{t} ) = t
  • [4]: cov(Wt,Ws)=E(WtWs)=12(∣t∣+∣s∣−∣t−s∣)=min⁡{t,s}\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = E (W_{t}W_{s}) = {{1} \over {2}} (|t| + |s| - |t-s|) = \min \left\{ t , s \right\}

설명

위너 프로세스는 브라운 운동brownian motion이라도 불린다.

  • (ii): (Wt+u−Wt)⊥Ws\left( W_{t+u} - W_{t} \right) \perp W_{s} 이고

  • (iii): 인크리먼트가 정규분포 N(0,t)N(0,t) 를 따른다는 것은 위너 프로세스는 특정 시점에는 관심이 없고 두 시점을 비교했을때 그 시차가 클수록 불확실성이 커짐을 의미한다.

  • (iv): 샘플 패스가 거의 어디서나 연속이라는 것은 움직임이 위너 프로세스를 따르는 어떤 점이 있다고 할 때 밑도 끝도 없이 움직이는, 마치 ‘순간이동’을 할 확률이 00 이라고 봐도 좋다. 너무 어렵다면 그냥 갑작스런 도약을 하지 않는다고만 알아둬도 충분하다.

  • [1]: 재미있는 사실은 WtW_{t} 의 확률밀도함수 fWt(x,t)=12πte−x22t f_{W_{t}} (x,t) = {{1} \over { \sqrt{ 2 \pi t } }} e^{ - {{x^2} \over {2t} } } 가 열방정식 ∂u∂t=12∂2u∂x2 {{\partial u } \over { \partial t }} = {{1} \over {2}} {{\partial^2 u } \over { \partial x^2 }} 의 해가 된다는 것이다.

  • [4]: 공분산이 무언가들의 미니멈으로 표현되는 것은 흔히 볼 수 있는 게 아니다. 반드시 증명과정을 따라가보고 어떻게 유도되었는지 이해하는 것을 추천한다.

증명

[1]

(i)와 (iii)에 의해, Wt=Wt−0=Wt−W0∼N(0,t)W_{t} = W_{t} - 0 = W_{t} - W_{0} \sim N ( 0 , t )

■

[2]

[1]에 의해 WtW_{t} 는 정규분포를 따르므로 E(Wt)=0\displaystyle E ( W_{t} ) = 0

■

[3]

[1]에 의해 WtW_{t} 는 정규분포를 따르므로 Var⁡(Wt)=t\displaystyle \operatorname{Var} ( W_{t} ) = t

■

[4]

t>st > s 라고 두면 공분산의 정의와 [2]에 의해 cov(Wt,Ws)=E([Wt−E(Wt)][Ws−E(Ws)])=E(WtWs) \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = E \left( \left[ W_{t} - E ( W_{t} ) \right] \left[ W_{s} - E ( W_{s} ) \right] \right) = E \left( W_{t} W_{s} \right)

Wt=(Wt−Ws)+WsW_{t} = ( W_{t} - W_{s} ) + W_{s} 이므로

E(WtWs)=E[((Wt−Ws)+Ws)⋅Ws]=E[(Wt−Ws)⋅Ws]+E(Ws2) \begin{align*} E \left( W_{t} W_{s} \right) =& E \left[ \left( ( W_{t} - W_{s} ) + W_{s} \right) \cdot W_{s} \right] \\ =& E \left[ ( W_{t} - W_{s} ) \cdot W_{s} \right] + E \left( W_{s}^{2} \right) \end{align*}

(ii)와 [2]에 의해 첫번째 항은

E[(Wt−Ws)⋅Ws]=E(Wt)⋅E(Wt−Ws)=0 E \left[ ( W_{t} - W_{s} ) \cdot W_{s} \right] = E ( W_{t} ) \cdot E ( W_{t} - W_{s} ) = 0

[3]에 의해 두번째 항은

E(Ws2)−02=E(Ws2)−[E(Ws)]2=Var⁡(Ws)=s E \left( W_{s}^{2} \right) - 0^2 = E \left( W_{s}^{2} \right) - \left[ E ( W_{s} ) \right]^2 = \operatorname{Var} ( W_{s} ) = s

정리하면 cov(Wt,Ws)=s\displaystyle \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = s 이다. 한편 s>ts > t 일 때도 같은 결과를 얻을 수 있으므로

cov(Wt,Ws)=min⁡{t,s} \text{cov} ( W_{t} , W_{s} ) = \min \left\{ t , s \right\}

■