르장드르 다항식은 차수가 낮은 임의의 다항식과 직교한다
정리
$P_{l}(x)$을 르장드르 다항식, $f(x)$를 차수가 $l$보다 낮은 임의의 다항식이라 할 때 $P_{l}(x)$와 $f(x)$는 서로 직교 한다.
$$ \int_{-1}^{1}P_{l}(x)f(x)dx = 0 $$
설명
다음의 보조정리가 사실상 정리의 증명이나 다름없다.
보조정리
$f(x)$를 임의의 $n$차 다항식이라 하자. $f(x)$는 $l \le n$인 르장드르 다항식Legendre polynomial의 선형결합으로 나타낼 수 있다.
증명
$P_{l}(x)$는 $l$차 다항식이다. 따라서 $P_{n}(x)$의 최고차항과 임의의 상수의 곱으로 $f(x)$의 $n$차항을 표현할 수 있다. 그리고 $P_{n}(x)$의 $x^{n-1}$항과 임의의 상수의 곱을 $P_{n-1}(x)$의 최고차항과 임의의 상수의 곱과 더하여 $f(x)$의 $n-1$차항을 표현할 수 있다. 같은 방식으로 차수를 내려가면서 상수항까지 표현가능하다. 따라서 $f(x)$를 르장드르 다항식의 선형결합으로 나타낼 수 있음을 알 수 있다.
■
증명
$f(x)$를 임의의 $n(\lt l)$차 다항식이라 하자. $P_{l}$와 $f$의 내적은 다음과 같다.
$$ \int_{-1}^{1}P_{l}(x)f(x) dx $$
보조정리에 의해 $f(x)$를 르장드르 다항식의 선형결합으로 나타내면 다음과 같다.
$$ \begin{align*} & \int_{-1}^{1} P_{l}(x)\big[ a_{n}P_{n}(x)+a_{n-1}P_{n-1}(x) + \cdots +a_{0}P_{0}(x) \big] dx \\ &= a_{n}\int _{-1}^{1}P_{l}(x)P_{n}(x)dx +a_{n-1}\int _{-1}^{1}P_{l}(x)P_{n-1}(x) dx +\cdots+a_{0}\int _{-1}^{1}P_{l}(x)P_{0}(x)dx \\ &= 0 \end{align*} $$
$l \ne n$이고 르장드르 다항식의 직교성에 의해 모든 항이 $0$이다.
■