📂전자기학

벡터 전위의 다중극 전개와 자기 쌍극자 모멘트

벡터 전위의 다중극 전개¹

벡터 전위의 다중극 전개란, 전류가 모여있을 때 충분히 먼 곳에서 벡터 전위를 $\dfrac{1}{r^{n}}$에 대한 급수 근사식으로 표현한 것이다. 우선 선 전류 고리에 대한 벡터 전위는 다음과 같다.

$$ \mathbf{A}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0} I}{4\pi}\oint \dfrac{1}{\cR}d\mathbf{l}^{\prime} $$

위 그림과 같은 조건에서 다음의 식이 성립한다.

$$ \dfrac{1}{\cR} =\dfrac{1}{\sqrt{r^2+(r^{\prime})^2-2rr^{\prime}\cos\alpha}} = \dfrac{1}{r}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^{n} P_{n}(\cos \alpha ) $$

이를 벡터 전위 식에 대입하면 아래와 같다.

$$ \mathbf{A}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0} I}{4\pi} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{r^{n+1}} \oint (r^{\prime})^n P_{n}(\cos\alpha)d\mathbf{l}^{\prime} $$

$\sum$를 풀어서 정리하면 다음과 같다.

$$ \mathbf{A}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0} I}{4\pi} \left[ \dfrac{1}{r}\oint d\mathbf{l}^{\prime} + \dfrac{1}{r^2}\oint r^{\prime} \cos \alpha d\mathbf{l}^{\prime}+\dfrac{1}{r^3}\oint (r^{\prime})^2 \left( \dfrac{3}{2}\cos ^2 \alpha -\dfrac{1}{2}\right) d\mathbf{l}^{\prime} \cdots \right] $$

위 급수의 첫항을 (자기)홀극, 두번째항을 쌍극자, $n$번째 항을 $2^{n-1}$극자라 부른다. 변위를 폐곡선을 따라 적분하면 항상 $0$이기 때문에 자기 홀극항은 항상 $0$이다

$$ \oint d \mathbf{l}^{\prime}=0 $$

이 수식은 자연에는 자기홀극이 존재하지 않는다는 사실을 설명한다. 따라서 단일극은 자기장을 만들 수 없고 적어도 쌍극자(부호가 다른 최소의 쌍)는 있어야 자기장을 만들 수 있다. 전하의 경우는 점전하 $\pm q$만 있어도 전기장을 만들어내는 것과는 차이가 있다. 자석을 반으로 잘랐을 때 N극와 S극으로 분리되는 것이 아니라 두 개의 자석이 생기는 것은 바로 이러한 이유에서이다. 자기장을 뿜어내는 단일극은 없다. 자기홀극을 자하^{magnetic charge}라고도 한다.

자기 쌍극자 모멘트

자기 홀극이 없으므로 벡터 전위의 다중극 전개에서 가장 중요한 항은 쌍극자항이다. $\cos \alpha = \hat{\mathbf{r}} \cdot \hat{\mathbf{r}^{\prime}}$이므로

$$ \mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0} I}{4 \pi r^2}\oint r^{\prime} \cos \alpha d\mathbf{l}^{\prime} = \dfrac{\mu_{0} I}{4\pi r^2}\oint (\hat{\mathbf{r}}\cdot \mathbf{r}^{\prime})d\mathbf{l}^{\prime} $$

이때 적분식은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있는데 증명은 생략하겠다.

$$ \oint(\hat{\mathbf{r}}\cdot \mathbf{r}^{\prime})d\mathbf{l}^{\prime}=-\hat{\mathbf{r}}\times \int d \mathbf{a}^{\prime} $$

그러면

$$ \mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi r^2} (-\hat{\mathbf{r}})\times \int I d\mathbf{a}^{\prime} $$

이때 적분값을 자기 쌍극자 모멘트^{magnetic dipole moment}라 부르고 $\mathbf{m}$이라 표기한다.

$$ \mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{\mathbf{m} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2} $$

$$ \mathbf{m}=I\int d\mathbf{a}^{\prime}=I\mathbf{a}^{\prime} $$

$\mathbf{a}^{\prime}$는 고리의 벡터 넓이^{vector area}이다. 고리가 평평하면 $\mathbf{a}$의 크기는 그 고리를 둘러싼 면의 넓이이며 방향은 오른손 규칙으로 결정한다.

예제

아래 그림과 같은 ㄴ자 모양 고리의 자기 쌍극자 모멘트를 구하라. 모든 변의 길이는 $w$이고 전류 $I$가 흐른다.

ㄴ자 모양의 고리는 평평한 두 개의 정사각형 고리를 붙여놓은 것과 같다각각 구해서 더해주면고리 1의 쌍극자 모멘트는 $Iw^2 \hat{\mathbf{y}}$고리 2의 쌍극자 모멘트는 $Iw^2 \hat{\mathbf{z}}$따라서 $\mathbf{m}=Iw^2 \hat{\mathbf{y}}+Iw^2 \hat{\mathbf{z}}$