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벡터 전위의 다중극 전개와 자기 쌍극자 모멘트 📂전자기학

벡터 전위의 다중극 전개와 자기 쌍극자 모멘트

벡터 전위의 다중극 전개1

1.PNG

벡터 전위의 다중극 전개란, 전류가 모여있을 때 충분히 먼 곳에서 벡터 전위를 1rn\dfrac{1}{r^{n}}에 대한 급수 근사식으로 표현한 것이다. 우선 선 전류 고리에 대한 벡터 전위는 다음과 같다.

A(r)=μ0I4π∮1dl′ \mathbf{A}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0} I}{4\pi}\oint \dfrac{1}{\cR}d\mathbf{l}^{\prime}

위 그림과 같은 조건에서 다음의 식이 성립한다.

1=1r2+(r′)2−2rr′cos⁡α=1r∑n=0∞(r′r)nPn(cos⁡α) \dfrac{1}{\cR} =\dfrac{1}{\sqrt{r^2+(r^{\prime})^2-2rr^{\prime}\cos\alpha}} = \dfrac{1}{r}\sum \limits_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{r^{\prime}}{r} \right)^{n} P_{n}(\cos \alpha )

이를 벡터 전위 식에 대입하면 아래와 같다.

A(r)=μ0I4π∑n=0∞1rn+1∮(r′)nPn(cos⁡α)dl′ \mathbf{A}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0} I}{4\pi} \sum \limits_{n=0}^{\infty} \dfrac{1}{r^{n+1}} \oint (r^{\prime})^n P_{n}(\cos\alpha)d\mathbf{l}^{\prime}

∑\sum를 풀어서 정리하면 다음과 같다.

A(r)=μ0I4π[1r∮dl′+1r2∮r′cos⁡αdl′+1r3∮(r′)2(32cos⁡2α−12)dl′⋯ ] \mathbf{A}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0} I}{4\pi} \left[ \dfrac{1}{r}\oint d\mathbf{l}^{\prime} + \dfrac{1}{r^2}\oint r^{\prime} \cos \alpha d\mathbf{l}^{\prime}+\dfrac{1}{r^3}\oint (r^{\prime})^2 \left( \dfrac{3}{2}\cos ^2 \alpha -\dfrac{1}{2}\right) d\mathbf{l}^{\prime} \cdots \right]

위 급수의 첫항을 (자기)홀극, 두번째항을 쌍극자, nn번째 항을 2n−12^{n-1}극자라 부른다. 변위를 폐곡선을 따라 적분하면 항상 00이기 때문에 자기 홀극항은 항상 00이다

∮dl′=0 \oint d \mathbf{l}^{\prime}=0

이 수식은 자연에는 자기홀극이 존재하지 않는다는 사실을 설명한다. 따라서 단일극은 자기장을 만들 수 없고 적어도 쌍극자(부호가 다른 최소의 쌍)는 있어야 자기장을 만들 수 있다. 전하의 경우는 점전하 ±q\pm q만 있어도 전기장을 만들어내는 것과는 차이가 있다. 자석을 반으로 잘랐을 때 N극와 S극으로 분리되는 것이 아니라 두 개의 자석이 생기는 것은 바로 이러한 이유에서이다. 자기장을 뿜어내는 단일극은 없다. 자기홀극을 자하magnetic charge라고도 한다.

자기 쌍극자 모멘트

자기 홀극이 없으므로 벡터 전위의 다중극 전개에서 가장 중요한 항은 쌍극자항이다. cos⁡α=r^⋅r′^\cos \alpha = \hat{\mathbf{r}} \cdot \hat{\mathbf{r}^{\prime}}이므로

Adip(r)=μ0I4πr2∮r′cos⁡αdl′=μ0I4πr2∮(r^⋅r′)dl′ \mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0} I}{4 \pi r^2}\oint r^{\prime} \cos \alpha d\mathbf{l}^{\prime} = \dfrac{\mu_{0} I}{4\pi r^2}\oint (\hat{\mathbf{r}}\cdot \mathbf{r}^{\prime})d\mathbf{l}^{\prime}

이때 적분식은 아래와 같이 바꿔쓸 수 있는데 증명은 생략하겠다.

∮(r^⋅r′)dl′=−r^×∫da′ \oint(\hat{\mathbf{r}}\cdot \mathbf{r}^{\prime})d\mathbf{l}^{\prime}=-\hat{\mathbf{r}}\times \int d \mathbf{a}^{\prime}

그러면

Adip(r)=μ04πr2(−r^)×∫Ida′ \mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r}) = \dfrac{\mu_{0}}{4\pi r^2} (-\hat{\mathbf{r}})\times \int I d\mathbf{a}^{\prime}

이때 적분값을 자기 쌍극자 모멘트magnetic dipole moment라 부르고 m\mathbf{m}이라 표기한다.

Adip(r)=μ04πm×r^r2 \mathbf{A}_{\text{dip}}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0}}{4 \pi} \dfrac{\mathbf{m} \times \hat{\mathbf{r}}}{r^2}

m=I∫da′=Ia′ \mathbf{m}=I\int d\mathbf{a}^{\prime}=I\mathbf{a}^{\prime}

a′\mathbf{a}^{\prime}는 고리의 벡터 넓이vector area이다. 고리가 평평하면 a\mathbf{a}의 크기는 그 고리를 둘러싼 면의 넓이이며 방향은 오른손 규칙으로 결정한다.

예제

아래 그림과 같은 ㄴ자 모양 고리의 자기 쌍극자 모멘트를 구하라. 모든 변의 길이는 ww이고 전류 II가 흐른다.

30.JPG

ㄴ자 모양의 고리는 평평한 두 개의 정사각형 고리를 붙여놓은 것과 같다각각 구해서 더해주면고리 1의 쌍극자 모멘트는 Iw2y^Iw^2 \hat{\mathbf{y}}고리 2의 쌍극자 모멘트는 Iw2z^Iw^2 \hat{\mathbf{z}}따라서 m=Iw2y^+Iw2z^\mathbf{m}=Iw^2 \hat{\mathbf{y}}+Iw^2 \hat{\mathbf{z}}

  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition, 2014), p271-273 ↩︎