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자기장의 벡터 전위 📂전자기학

자기장의 벡터 전위

설명1

정전기학에서 전기장을 쉽게 다루기 위해 ∇×E=0\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}이라는 성질을 이용해서 스칼라 전위 VV를 정의한다. 마찬가지로 정자기학에서 ∇⋅B=0\nabla \cdot \mathbf{B} = 0라는 성질을 이용해 벡터 전위 AA를 정의해 사용한다. 자기장 B\mathbf{B}를 어떤 벡터 A\mathbf{A}의 회전이라고 하자.

B=∇×A \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A}

그러면 회전의 발산은 0이므로 자연스레 다음의 식이 성립한다.

∇⋅B=∇⋅(∇×A)=0 \nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0

따라서 컬을 취했을 때 자기장이 되는 벡터 A\mathbf{A}를 자기장의 벡터 전위라고 정의한다. 전기장의 스칼라 전위를 다룰 때의 핵심은 전위 그 자체의 값이 아니라 전위의 차이가 중요하다는 것이었다. 따라서 상수 KK만큼의 차이는 전기장을 다루는데 영향을 주지 못했다. 이와 마찬가지로 벡터 전위 A\mathbf{A}를 발산이 00이 되도록 하는 벡터로 정할 수 있다. 발산이 00이 아닌 벡터라고 해도 상관은 없지만 ∇⋅A=0\nabla \cdot \mathbf{A}=0을 만족할 때 식이 가장 깔끔해진다. 미분꼴의 앙페르 법칙에 벡터 전위 A\mathbf{A}를 대입해보면 다음의 식을 얻는다

∇×B=∇×(∇×A)=∇(∇⋅A)−∇2A=μ0J \nabla \times \mathbf{B}=\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A} ) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla ^2 \mathbf{A} = \mu_{0} \mathbf{J}

을 참고)∇⋅A=0\nabla \cdot \mathbf{A}=0이라면 앙페르 법칙은 깔끔하게 아래와 같아진다.

∇2A=−μ0J \begin{equation} \nabla ^2 \mathbf{A}=-\mu_{0} \mathbf{J} \label{1} \end{equation}

이제 왜 마음대로 A\mathbf{A}가 발산이 00이되는 함수라고 둬도 되는지 확인해보자. 발산이 00이 아닌 전위를 A0\mathbf{A}_{0}라 하자. 여기에 임의의 스칼라 λ\lambda의 기울기를 더해준 것을 A\mathbf{A}라 하자.

A=A0+∇λ \mathbf{A}=\mathbf{A}_{0} + \nabla \lambda

양 변에 컬을 취하면, 그래디언트의 컬은 0\mathbf{0}이므로

∇×A=∇×A0+∇×(∇λ)=∇×A0 \nabla \times \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A}_{0} + \nabla \times (\nabla\lambda)=\nabla \times \mathbf{A}_{0}

따라서 두 벡터 A,A0\mathbf{A}, \mathbf{A}_{0}의 컬은 같고 다음이 성립한다.

B=∇×A=∇×A0 \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A}_{0}

그러므로 벡터 전위에 임의의 스칼라의 기울기를 더하는 것은 자기장을 표현하는데 있어서 아무런 영향을 주지 않는다. 스칼라 λ\lambda의 조건을 결정하기 위해 두 벡터 전위에 발산을 취하면

∇⋅A=∇⋅A0+∇2λ \nabla \cdot \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A}_{0} + \nabla^2 \lambda

따라서 ∇2λ=−∇⋅A0\nabla ^2 \lambda=-\nabla \cdot \mathbf{A}_{0}를 만족하는 λ\lambda를 선택하면 벡터전위 A\mathbf{A}의 발산을 00으로 만들어 줄 수 있다. 만약 아주 먼 곳에서 ∇⋅A0=0\nabla \cdot \mathbf{A}_{0}=0가 성립하면, 다음의 식을 얻는다.

λ=14π∫∇⋅A0dτ′ \lambda=\dfrac{1}{4 \pi}\int \dfrac{\nabla \cdot \mathbf{A}_{0} } {\cR} d\tau^{\prime}

(1)(1)을 풀어 A\mathbf{A}를 직접 구하면(아주 먼 곳에서 J=0\mathbf{J}=0일 때)

A(r)=μ04π∫J(r′)dτ′ \mathbf{A}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J} (\mathbf{r}^{\prime}) }{\cR} d\tau^{\prime}

식을 보면 알겠지만 전류의 방향이 일정하다면 벡터 전위와 전류의 방향이 같다. 선 전류와 면 전류에 대한 벡터전위는

A=μ04π∫Idl′=μ0I4π∫1dl′ \mathbf{A}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{I} } {\cR} dl^{\prime}=\dfrac{\mu_{0} I}{4\pi} \int \dfrac{1}{\cR} d\mathbf{l}^{\prime}

A=μ04π∫Kda′ \mathbf{A}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\int \dfrac{K}{\cR} da^{\prime}

  1. David J. Griffiths, 기초전자기학(Introduction to Electrodynamics, 김진승 역) (4th Edition, 2014), p262-263 ↩︎