📂전자기학

자기장의 벡터 전위

설명¹

정전기학에서 전기장을 쉽게 다루기 위해 $\nabla \times \mathbf{E} = \mathbf{0}$이라는 성질을 이용해서 스칼라 전위 $V$를 정의한다. 마찬가지로 정자기학에서 $\nabla \cdot \mathbf{B} = 0$라는 성질을 이용해 벡터 전위 $A$를 정의해 사용한다. 자기장 $\mathbf{B}$를 어떤 벡터 $\mathbf{A}$의 회전이라고 하자.

$$ \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A} $$

그러면 회전의 발산은 0이므로 자연스레 다음의 식이 성립한다.

$$ \nabla \cdot \mathbf{B} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0 $$

따라서 컬을 취했을 때 자기장이 되는 벡터 $\mathbf{A}$를 자기장의 벡터 전위라고 정의한다. 전기장의 스칼라 전위를 다룰 때의 핵심은 전위 그 자체의 값이 아니라 전위의 차이가 중요하다는 것이었다. 따라서 상수 $K$만큼의 차이는 전기장을 다루는데 영향을 주지 못했다. 이와 마찬가지로 벡터 전위 $\mathbf{A}$를 발산이 $0$이 되도록 하는 벡터로 정할 수 있다. 발산이 $0$이 아닌 벡터라고 해도 상관은 없지만 $\nabla \cdot \mathbf{A}=0$을 만족할 때 식이 가장 깔끔해진다. 미분꼴의 앙페르 법칙에 벡터 전위 $\mathbf{A}$를 대입해보면 다음의 식을 얻는다

$$ \nabla \times \mathbf{B}=\nabla \times (\nabla \times \mathbf{A} ) = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A})-\nabla ^2 \mathbf{A} = \mu_{0} \mathbf{J} $$

을 참고)$\nabla \cdot \mathbf{A}=0$이라면 앙페르 법칙은 깔끔하게 아래와 같아진다.

$$ \begin{equation} \nabla ^2 \mathbf{A}=-\mu_{0} \mathbf{J} \label{1} \end{equation} $$

이제 왜 마음대로 $\mathbf{A}$가 발산이 $0$이되는 함수라고 둬도 되는지 확인해보자. 발산이 $0$이 아닌 전위를 $\mathbf{A}_{0}$라 하자. 여기에 임의의 스칼라 $\lambda$의 기울기를 더해준 것을 $\mathbf{A}$라 하자.

$$ \mathbf{A}=\mathbf{A}_{0} + \nabla \lambda $$

양 변에 컬을 취하면, 그래디언트의 컬은 $\mathbf{0}$이므로

$$ \nabla \times \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A}_{0} + \nabla \times (\nabla\lambda)=\nabla \times \mathbf{A}_{0} $$

따라서 두 벡터 $\mathbf{A}, \mathbf{A}_{0}$의 컬은 같고 다음이 성립한다.

$$ \mathbf{B}=\nabla \times \mathbf{A} = \nabla \times \mathbf{A}_{0} $$

그러므로 벡터 전위에 임의의 스칼라의 기울기를 더하는 것은 자기장을 표현하는데 있어서 아무런 영향을 주지 않는다. 스칼라 $\lambda$의 조건을 결정하기 위해 두 벡터 전위에 발산을 취하면

$$ \nabla \cdot \mathbf{A} = \nabla \cdot \mathbf{A}_{0} + \nabla^2 \lambda $$

따라서 $\nabla ^2 \lambda=-\nabla \cdot \mathbf{A}_{0}$를 만족하는 $\lambda$를 선택하면 벡터전위 $\mathbf{A}$의 발산을 $0$으로 만들어 줄 수 있다. 만약 아주 먼 곳에서 $\nabla \cdot \mathbf{A}_{0}=0$가 성립하면, 다음의 식을 얻는다.

$$ \lambda=\dfrac{1}{4 \pi}\int \dfrac{\nabla \cdot \mathbf{A}_{0} } {\cR} d\tau^{\prime} $$

$(1)$을 풀어 $\mathbf{A}$를 직접 구하면(아주 먼 곳에서 $\mathbf{J}=0$일 때)

$$ \mathbf{A}(\mathbf{r})=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{J} (\mathbf{r}^{\prime}) }{\cR} d\tau^{\prime} $$

식을 보면 알겠지만 전류의 방향이 일정하다면 벡터 전위와 전류의 방향이 같다. 선 전류와 면 전류에 대한 벡터전위는

$$ \mathbf{A}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi} \int \dfrac{\mathbf{I} } {\cR} dl^{\prime}=\dfrac{\mu_{0} I}{4\pi} \int \dfrac{1}{\cR} d\mathbf{l}^{\prime} $$

$$ \mathbf{A}=\dfrac{\mu_{0}}{4\pi}\int \dfrac{K}{\cR} da^{\prime} $$