일반화된 랜덤워크
📂확률론 일반화된 랜덤워크 정의
확률과정 { X n } \left\{ X_{n} \right\} { X n } { ⋯ , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ⋯ } \left\{ \cdots , -2 , -1, 0 , 1 , 2 , \cdots \right\} { ⋯ , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , ⋯ } 0 0 0 1 1 1 p p p 1 1 1 ( 1 − p ) (1-p) ( 1 − p ) { X n } \left\{ X_{n} \right\} { X n } 일반화된 랜덤워크 라 한다.
설명 랜덤워크란 확률 과정 중에서도 아주 단순한 예시 로써, 보통 좌우로 갈 확률을 똑같이 둔다. 일반화된 랜덤워크란 그 확률을 다르게 두기도 할 뿐이다. 단순하게 생각해봐도 그 좌우로 갈 확률이 같다면 시작 상태 0 0 0
한편 상태공간을 유한하게 제한한 케이스로써 도박꾼의 파산 문제 를 생각해볼 수 있다.
정리 p = 1 2 \displaystyle p = {{1} \over {2}} p = 2 1 0 0 0 리커런트 하고, p ≠ 1 2 \displaystyle p \ne {{1} \over {2}} p = 2 1 0 0 0 트랜젼트 하다.
증명 ∑ n = 1 ∞ p 00 ( n ) = ∞ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} p_{00}^{(n)}= \infty n = 1 ∑ ∞ p 00 ( n ) = ∞ 0 0 0 ∑ n = 1 ∞ p 00 ( n ) < ∞ \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} p_{00}^{(n)} < \infty n = 1 ∑ ∞ p 00 ( n ) < ∞ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 p 00 ( 2 n − 1 ) = 0
p_{00}^{ ( 2n - 1 )} = 0
p 00 ( 2 n − 1 ) = 0 2 n 2n 2 n 0 0 0 n n n n n n p 00 ( 2 n ) = ( 2 n n ) p n ( 1 − p ) n \displaystyle p_{00}^{ ( 2n )} = \binom{2n}{n} p^{n} (1-p)^{n} p 00 ( 2 n ) = ( n 2 n ) p n ( 1 − p ) n p 00 ( 2 n ) = ( 2 n ) ! ( n ! ) 2 ( p ( 1 − p ) ) n \displaystyle p_{00}^{ ( 2n )} = {{ ( 2n )! } \over { ( n! )^2 }} \left( p ( 1 - p ) \right)^{n} p 00 ( 2 n ) = ( n ! ) 2 ( 2 n )! ( p ( 1 − p ) ) n
이 발산하는지 수렴하는지 확인하면 충분하다.
스털링 근사 : lim n → ∞ n ! n n + 1 / 2 e − n 2 π = 1 \lim_{n \to \infty} {{n!} \over { n^{ n + 1/2} e^{- n} \sqrt{ 2 \pi } }} = 1 n → ∞ lim n n + 1/2 e − n 2 π n ! = 1
팩토리얼을 계산하는게 어렵고, n n n p 00 ( 2 n ) ≈ ( 2 n ) 2 n + 1 / 2 e − 2 n 2 π ( n n + 1 / 2 e − n 2 π ) 2 ( p ( 1 − p ) ) n = ( 2 n ) 2 n 2 n ( n n ) 2 n 2 π ( p ( 1 − p ) ) n = 4 n n 2 n 2 n n 2 n n 2 π ( p ( 1 − p ) ) n = ( 4 p ( 1 − p ) ) n π n
\begin{align*}
p_{00}^{ ( 2n )} \approx& {{ (2n)^{2n + 1/2} e^{-2n} \sqrt{ 2 \pi } } \over { \left( n^{n + 1/2} e^{-n} \sqrt{ 2 \pi } \right)^{2} }} \left( p ( 1 - p ) \right)^{n}
\\ =& {{ (2n)^{2n } \sqrt{2n} } \over { \left( n^{n } \right)^{2} n \sqrt{ 2 \pi } }} \left( p ( 1 - p ) \right)^{n}
\\ =& {{ 4^{n} n^{2n} \sqrt{ 2n } } \over { n^{2n} n \sqrt{ 2 \pi } }} \left( p ( 1 - p ) \right)^{n}
\\ =& {{ \left( 4 p ( 1 - p ) \right)^{n} } \over { \sqrt{ \pi n } }}
\end{align*}
p 00 ( 2 n ) ≈ = = = ( n n + 1/2 e − n 2 π ) 2 ( 2 n ) 2 n + 1/2 e − 2 n 2 π ( p ( 1 − p ) ) n ( n n ) 2 n 2 π ( 2 n ) 2 n 2 n ( p ( 1 − p ) ) n n 2 n n 2 π 4 n n 2 n 2 n ( p ( 1 − p ) ) n πn ( 4 p ( 1 − p ) ) n
Case 1. p = 1 2 \displaystyle p = {{1} \over {2}} p = 2 1
p-급수 판정법 : ∑ n = 1 ∞ 1 n p \displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ 1 \over {n^p} } n = 1 ∑ ∞ n p 1 p > 1 p>1 p > 1
p-판정법에 의해 ∑ n = 1 ∞ ( 4 p ( 1 − p ) ) n π n = 1 π ∑ n = 1 ∞ 1 n \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} {{ \left( 4 p ( 1 - p ) \right)^{n} } \over { \sqrt{ \pi n } }} = {{1} \over { \sqrt{ \pi } }} \sum_{n=1}^{\infty} {{1} \over { \sqrt{n} } } n = 1 ∑ ∞ πn ( 4 p ( 1 − p ) ) n = π 1 n = 1 ∑ ∞ n 1 0 0 0
Case 2. p ≠ 1 2 \displaystyle p \ne {{1} \over {2}} p = 2 1
비 판정법 : r = lim n → ∞ ∣ a n + 1 ∣ ∣ a n ∣ \displaystyle r = \lim_{n \to \infty} { {|a_{n+1}|} \over {|a_{n}|} } r = n → ∞ lim ∣ a n ∣ ∣ a n + 1 ∣ r < 1 r<1 r < 1 ∑ n = 1 ∞ a n \displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }} n = 1 ∑ ∞ a n r > 1 r>1 r > 1 ∑ n = 1 ∞ a n \displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }} n = 1 ∑ ∞ a n
lim n → ∞ ∣ ( 4 p ( 1 − p ) ) n + 1 π ( n + 1 ) ( 4 p ( 1 − p ) ) n π n ∣ = lim n → ∞ 4 p ( 1 − p ) ( n + 1 ) / n = 4 p ( 1 − p ) < 1 \lim_{ n \to \infty } \left| {{ {{ \left( 4 p ( 1 - p ) \right)^{n+1} } \over { \sqrt{ \pi ( n + 1 ) } }} } \over { {{ \left( 4 p ( 1 - p ) \right)^{n} } \over { \sqrt{ \pi n } }} }} \right| = \lim_{n \to \infty } {{ 4 p ( 1 - p ) } \over { \sqrt{ (n+1) / n } }} = 4p (1 - p) < 1 n → ∞ lim πn ( 4 p ( 1 − p ) ) n π ( n + 1 ) ( 4 p ( 1 − p ) ) n + 1 = n → ∞ lim ( n + 1 ) / n 4 p ( 1 − p ) = 4 p ( 1 − p ) < 1 ∑ n = 1 ∞ ( 4 p ( 1 − p ) ) n π n \sum_{n=1}^{\infty} {{ \left( 4 p ( 1 - p ) \right)^{n} } \over { \sqrt{ \pi n } }} n = 1 ∑ ∞ πn ( 4 p ( 1 − p ) ) n 0 0 0
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