📂동역학

1차원 맵의 혼돈, 카오스

정의

캐어릭 오빗¹

맵 $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 의 바운디드 오빗 $\left\{ x_{1} , x_{2} , \cdots \right\}$ 이 다음을 만족하면 이 오빗을 캐어릭^chaotic하다고 한다.

• (i) 어심토티컬리 피리어딕이 아니다.
• (ii): $h (x_{1} ) > 0$

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• 바운디드 오빗이란 모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $|x_{n} | < M$ 을 만족하는 $M \in \mathbb{R}$ 이 존재한다는 뜻이다.
• $h(x_{1} )$ 은 랴푸노프 지수를 말한다.

캐어릭 맵

모든 $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 피리어딕-$n$ 오빗이 존재하면 맵 $f$ 가 캐어릭하다고 한다.

설명

• 영어를 기준으로 했을 때 Chaos의 발음은 [카오스]라기 보단 [케이어스]에 가까우며, Chaotic의 발음은 [카오틱]이라기보단 [캐어릭]에 가까워 부득이 캐어릭이라 순화한다.

보통 수학에서는 조건이 주어지고 식이 주어지면 원하는 답을 얻어낼 수 있다. 그러나 캐어릭한 오빗에서는 랴푸노프 지수가 양수기 때문에 맵을 아무리 취해도 어떤 싱크로 어트랙트 되지 않고 심지어 그 비슷한 피리어딕 오빗도 찾을 수 없다. 현재의 조건을 아무리 잘 알더라도 먼 미래는 예측할 수 없는 것을 수학적으로 잘 표현한 정의다.

한가지 헷갈리지 말아야할 것은 맵 $f$ 로 만들어지는 시스템에 캐어릭한 오빗이 존재한다고 해서 시스템 자체가 캐어릭한 것이 아니라는 점이다.

일반화

• 다차원 맵의 카오스