📂전자기학

전위

설명¹

전기장은 항상 컬(회전)이 $\mathbf{0}$인 특별한 벡터함수다. 이러한 특징으로부터 전기장 $\mathbf{E}$와 관련된 전위^{electric potential}라는 스칼라함수를 도입한다. 전위는 $V$로 표기하며 전기장 $\mathbf{E}$와 아래의 관계가 성립한다.

$$ \mathbf{E} = -\nabla V $$

따라서 전위 $V$를 알면 전기장 $\mathbf{E}$를 알 수 있다. 전위는 스칼라함수이므로 벡터함수인 전기장을 직접 구하는 것보다 전위를 구하는 것이 더 쉽다. 전기장과 전위의 관계는 중력과 위치에너지의 관계와 같다. 다만 전기장의 단위는 힘이 아니기 때문에 전위는 정확하게는 퍼텐셜 에너지가 아니고 퍼텐셜이다.

아래의 결과는 전기장이 바로 전위의 기울기임을 뜻하며 전위를 알고 있으면 그 기울기를 계산하여 전기장을 알 수 있다는 말이다. 또한 이 내용은 전기장 뿐만 아니라 회전이 $\mathbf{0}$인 모든 벡터함수에 대해서 적용된다.

유도

$\nabla \times \mathbf{E}=0$임을 증명하는 과정에서 전기장의 폐경로에 대한 선적분이 $0$이라는 사실을 알았다. 위 그림에서 $1$번 경로와 $2$번 경로를 합치면 점 $\mathbf{a}$에서 점 $\mathbf{a}$로 가는 닫힌 경로가 된다. 따라서

$$ \int _{1} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} + \int_2 \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} =0 $$

이므로 $1$번 경로와 $2$번 경로에 대한 적분값은 크기는 같고 부호는 다르다. $1$번 경로를 뒤집어 둘 다 점 $\mathbf{a}$에서 점 $\mathbf{b}$로 가는 경로라고 한다면 둘은 같은 값을 갖는다.

전기장의 선적분이 경로에 무관하기 때문에 어떤 기준점 $\mathcal{O}$에서부터 위치 $\mathbf{r}$까지의 적분은 항상 같은 값을 갖는다. 따라서 스칼라함수 $V$를 다음과 같이 정의하자.

$$ V(\mathbf{r} ) \equiv - \int _\mathcal{O} ^{\mathbf{r}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} $$

그러면 전위의 정의에 의해 다음의 식이 성립한다.

$$ \begin{align*} V(\mathbf{b} )- V( \mathbf{a} ) =&\ -\int _\mathcal{O} ^{\mathbf{b}} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} +\int_\mathcal{O} ^{\mathbf{a}} \mathbf{E} \cdot d \mathbf{l} \\ =&\ -\int_\mathbf{a} ^\mathbf{b} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \end{align*} $$

기울기의 기본 정리

$$ T(b)-T(a) = \int _{a}^{b} (\nabla T) \cdot d\mathbf{l} $$

또한 기울기의 기본정리에 의하면 다음의 식이 성립한다.

$$ V( \mathbf{b} ) - V (\mathbf{a} ) = \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}}\left( \nabla V \right) \cdot d\mathbf{l} $$

따라서 $\displaystyle \int_\mathbf{a} ^ \mathbf{b} \left( \nabla V \right) \cdot d\mathbf{l} = -\int_\mathbf{a} ^\mathbf{b} \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l}$ 이므로

$$ \mathbf{E} = -\nabla V $$

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