📂추상대수

유클리드 정역

정의 ¹

정역 $D$ 에서 다음의 두 조건을 만족하는 유클리드 놈^{euclidean Norm} $\nu : D \setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{N}_{0}$ 이 존재하면 $D$ 를 유클리드 정역이라 한다.

• (i): 모든 $a,b \in D (b \ne 0 )$ 에 대해 $$ a = bq + r $$ 을 만족하는 $q$ 와 $r$ 이 존재한다. 이 때 $r = 0$ 이거나 $\nu (r) < \nu (b)$ 둘 중 하나여야한다.
• (ii): 모든 $a,b \in D (b \ne 0 )$ 에 대해 $\nu ( a ) \le \nu ( ab )$

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• $\mathbb{N}_{0}$ 은 자연수의 집합에 $0$ 을 포함한 집합을 의미한다.

정리

유클리드 정역 $D$ 의 항등원을 $0$, 단위원을 $1$, 유클리드 놈을 $\nu$ 라고 하자.

• [1]: 모든 ED는 PID다.
• [2]: 모든 ED는 UFD다.
• [3]: $0$ 가 아닌 모든 $d \in D$ 에 대해 $\nu (1) \le \nu (d)$
• [4]: $u \in D$ 가 단원 $\iff$ $\nu ( u ) = \nu (1)$

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• PID는 주 아이디얼 정역, UFD는 유일 인수분해 정역이다.
• 단위원은 곱셈에 대한 항등원 $1$, 단원은 곱셈에 대한 역원을 가지는 원소다.

설명

‘유클리드 정역’이라는 말은 별로 길지는 않지만 보통 ED라는 약어를 많이 사용한다.

조건 (i), (ii)는 정수환 $\mathbb{Z}$ 에서는 자연스럽게 만족되는 조건들로써, 유클리드 놈 $\nu ( n ) := | n |$ 이 존재해서 $\mathbb{Z}$ 는 유클리드 정역이 된다. 애초에 유클리드 놈이라는 말 자체가 정수론의 유클리드 호제법에서 따온 것이다.

한편 체 $F$ 에 대해 $F [ x ]$ 를 생각해보면 유클리드 놈 $\nu ( f(x) ) : = \deg ( f(x) )$ 을 정의함으로써 유클리드 놈이 된다. 애초에 나눗셈 정리가 이 조건에 해당한다.

여러 정역들을 도식화하면 위와 같은데, ED가 얼마나 좋은 성질을 많이 가지고 있는지 쉽게 알 수 있다.

증명

[1]

$D$ 의 아이디얼을 $N$ 이라고 두자.

$N = \left\{ 0 \right\} = \left< 0 \right>$ 은 당연히 주 아이디얼이므로, $N \ne \left\{ 0 \right\}$ 에 대해서 생각해보자.

그러면 $0$ 이 아닌 모든 $n \in N$ 에 대해 $$ \nu (b) \le \nu (n) $$ 를 만족하는 $b \ne 0$ 을 하나 잡을 수 있다. $a \in N$ 이라고 하면 조건 (i)에 의해 $$ a = b q + r $$ 를 만족하는 $q,r \in D$ 가 존재해야한다. $N = Nq$ 는 아이디얼이므로 $r = a - bq$ 역시 $N$ 에 존재하는 원소임을 알 수 있다. $b$ 는 $\nu (b)$ 가 가장 작아지도록 하는 원소였으므로, 조건 (i)에 의해 $r=0$ 이어야한다. 모든 원소 $a \in N$ 이 $a = bq$ 와 같이 나타난다는 것은 곧 $N = \left< b \right>$ 라는 것이므로, 모든 아이디얼 $N$ 은 주 아이디얼이다.

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[2]

ED는 PID이고, PID는 UFD이므로 ED는 UFD다.

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[3]

조건 (ii)에 의해 $$ \nu (1) \le \nu ( 1 d) = \nu (d) $$

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[4]

$( \implies )$

$u$ 가 단원이므로 그 역원 $u^{-1}$ 이 존재해서 $$ \nu ( u ) \le \nu ( u u^{-1} ) = \nu (1) $$ 이고, 정리 [3]에 의해 $\nu (1) \le \nu (1)$ 이므로 $$ \nu ( u ) = \nu (1) $$

$( \impliedby )$

$1 = uq + r$ 이라 두자. $\nu (1) = \nu (u)$ 면 $\nu (1) < \nu (u)$ 이 아니므로 정의의 조건 (i)에 따라 $r=0$ 이어야 한다. 따라서 $1 = uq$ 이고, $u$ 는 단원이 된다.

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같이보기

• 유클리드 정역 $\implies$ 주 아이디얼 정역 $\implies$ 유일 인수분해 정역 $\implies$ 정역
• 유클리드 정역 $\implies$ 주 아이디얼 정역 $\implies$ 뇌터 환