📂해석개론

리만-스틸체스 적분

개요

리만-스틸체스 적분^{Riemann-Stieltjes integral}은 리만 적분을 일반화한 것으로 간단히 스틸체스 적분이라고도 한다. 리만 적분은 리만-스틸체스 적분에서 $\alpha (x)=x$인 특수한 경우에 해당한다.

리만-스틸체스 적분을 정의하는 과정은 리만 적분을 정의하는 과정과 같으므로 노테이션, 빌드업에 대한 구체적인 설명은 생략한다.

정의

$\alpha : [a,b] \to \mathbb{R}$를 단조증가함수라 하고, $\Delta \alpha_{i}=\alpha (x_{i})-\alpha (x_{i-1})$라고 하자. 그러면 $\alpha$가 단조증가함수기 때문에 $\Delta \alpha_{i} \ge 0$이다.

유계인 함수 $f : [a,b] \to \mathbb{R}$와 $[a,b]$의 분할 $P$에 대해서 $U, L$을 아래와 같이 정의한다.

$$\begin{align} U(P,f,\alpha) &:= \sum \limits _{i=1} ^n M_{i} \Delta \alpha_{i} \\ L(P,f,\alpha) &:= \sum \limits_{i=1} ^n m_{i} \Delta \alpha_{i} \end{align}$$

$(1), (2)$를 $[a,b]$에서 $\alpha$에 대한 $f$의 리만-스틸체스 상합, 하합^{upper and lower Riemann-Stieltjes sum}이라 한다.

$(1), (2)$에 구간 $[a,b]$의 모든 임의의 분할 $P$에 대한 $\inf, \sup$을 취한 것을 각각 $[a,b]$에서 $\alpha$에 대한 $f$의 리만-스틸체스 상적분, 하적분^{upper and lower Riemann-Stieltjes integral}이라 한다.

$$\begin{align*} \overline {\int _{a} ^b} f d\alpha &:= \inf\limits_{P} U(P,f,\alpha) \\ \underline {\int _{a} ^b} f d\alpha &:= \sup\limits_{P} L(P,f,\alpha) \end{align*}$$

상적분과 하적분이 같으면 이를 $[a,b]$에서 $\alpha$에 대한 $f$의 리만-스틸체스 적분^{Riemann-Stieltjes integral}이라 하고 다음과 같이 표기한다.

$$\int _{a} ^b f d\alpha = \int _{a}^b f(x) d\alpha (x) = \overline {\int _{a} ^b} f d\alpha = \underline {\int _{a} ^b} f d\alpha$$

$f$의 스틸체스 적분이 존재하면, $f$는 $[a,b]$에서 $\alpha$에 대해 리만-스틸체스 적분가능^{Riemann-Stieltjes integrable}하다고 하며 다음과 같이 표기한다.

$$f \in \mathscr{R}(\alpha) = \left\{ f : f \text{ is Riemann-Stieltjes integrable} \right\}$$