유일 인수분해 정역
정의 1
- 정역 $D$ 의 $0$ 도 아니고 단원도 아닌 모든 원소에 대한 유한 인수분해가 유일하게 존재하면 $D$ 를 유일 인수분해 정역uFD이라 한다.
- 유일 인수분해 정역 $D$ 의 $a_{1} , \cdots , a_{n}$ 에 대해 $d \mid a_{i}$ 이고 $a_{i}$ 의 모든 약수가 $d$ 를 나누면 $d$ 를 $a_{1} , \cdots , a_{n}$ 의 최대공약소greatest Common Divisor라 하고 $\gcd$ 로 쓴다.
- 유일 인수분해 정역 $D$ 의 어떤 다항함수를 $f(x) := a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^{n}$ 라 두자. $\gcd ( a_{0} , a_{1} , \cdots , a_{n} ) = 1$ 이면 $f(x) \in D [ x ]$ 를 원시적primitive이라 한다.
정리 2
- [1]: 모든 PID는 UFD다.
- [2] 산술의 기본정리: $\mathbb{Z}$ 는 UFD다.
- [3] 가우스 보조정리: $D$ 가 UFD면 $D [ x ]$ 의 원시 다항함수들의 곱도 원시적이다.
- [4]: $D$ 가 UFD면 $D [ x ]$ 도 UFD다.
- [5]: $F$ 가 체면 $F[ x_{1} , \cdots , x_{n} ]$ 은 UFD다.
설명
‘유일 인수분해 정역’이라는 말은 너무 길어서 보통 UFD라는 약어를 많이 사용한다.
UFD
원소의 유한 인수분해가 존재한다는 것은 주어진 원소가 유한한 수의 기약원의 곱으로 나타난다는 의미다. UFD가 유용한 이유는 어떤 큰 객체를 쪼개서 생각할 수 있게 되기 때문이다. 대수학의 특징 상 그게 꼭 뭐라고 말은 못하더라도, 일단 그러한 인수분해가 존재한다는 것만으로도 큰 도움이 된다. 덕분에 우리가 생각하는 ‘상식적인’ 계산이 통하는 정역이 된다.
유일 인수분해 정역의 예시가 되는 것은 아주 많다. 당장 정리 [2]에서 언급하듯 정수환 $\mathbb{Z}$ 가 그러하다. 그런데 정수환에 $\sqrt{-5}$ 를 첨가한 단순확대체 $\mathbb{Z} ( \sqrt{ - 5 } )$ 를 생각해보자. 여기서 $21 \in \mathbb{Z} ( \sqrt{ - 5 } )$ 은 소인수분해 $21 = 3 \cdot 7$ 를 가지는 한편, $21 = ( 1 + 2 \sqrt{-5}) ( 1 - 2 \sqrt{-5}) $ 역시 가능하므로 유일하지는 않고, $\mathbb{Z} ( \sqrt{ - 5 } )$ 는 유일 인수분해 정역이 아님을 쉽게 확인할 수 있다.
원시적 함수?
함수가 원시적이라는 것은 미적분학에서의 원시함수와는 전혀 관계가 없고, $(3 x^2 + 6 x + 3) \in \mathbb{Z} [ x ]$ 가 $3 ( x^2 + 2x + 1)$ 처럼 전체를 $3$ 으로 묶어낼 수 있는 것과 달리 계수를 묶어낼 수 없는 함수를 말한다.
산술의 기본정리
정수론에서의 스테이트먼트와 달리 정수환 $\mathbb{Z}$ 가 UFD라는 말로 요약된다. 물론 이를 위해서 엄청나게 많은 개념들이 동원되었으니 당연히 그 말이 그 말이지만, 보다 수준 높은 정수론에선 이렇게 대수의 언어로 표현하는 것들이 많기 때문에 대수학을 공부하는 게 필수적이다. 대수학을 전공하진 않더라도 대수학을 모르면 바보가 된다.
가우스 보조정리
가우스 보조정리는 생각보다 신기한 정리다. 예를들어 $(5x + 1) , (2x^2 + 3x + 1) \in \mathbb{Z} [ x ]$ 을 생각해보면 그 곱은 $( 10 x^3 + 17 x^2 + 8 x + 1 )$ 로써 실제로 어떤 최대공약수 $a \in \mathbb{Z}$ 로 묶어낼 수가 없다. 하다보면 반례 하나 정도는 얻어걸릴 것도 같은데, 가우스 보조정리 덕에 그런 삽질을 할 필요가 없어진다.
증명
[1]
Part 1. 존재성
$D$ 가 PID라고 하면 $d \in D$ 는 기약원 $p_{1} , \cdots , p_{r}$ 들의 유한한 곱 $a = p_{1} \cdots p_{r}$ 과 같이 나타난다.
Part 2. 유일성
또다른 기약원 $q_{1} , \cdots , q_{s}$ 에 대해 $a = q_{1} \cdots q_{s}$ 역시 가능하다고 해보자.
PID의 기약원은 소원소이므로, 어떤 $1 \le j \le s$ 에 대해 $p_{1} \mid q_{j}$ 여야한다. $$ p_{1} p_{2} \cdots p_{r} = p_{1} u_{1} q_{2} \cdots q_{s} $$ 의 양변에서 $p_{1}$ 을 소거하면 $$ p_{2} \cdots p_{r} = u_{1} q_{2} \cdots q_{s} $$ 이다. 같은 방법으로 $i=r$ 까지 반복하면 $$ 1 = u_{1} \cdots u_{r} q_{r+1} \cdots q_{s} $$ 을 얻는다. $q_{r+1} \cdots q_{s}$ 는 기약원이므로, $r=s$ 여야한다.
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[2]
$\mathbb{Z}$ 의 모든 아이디얼은 $\left< n \right> = n \mathbb{Z}$ 이므로 PID고, 정리 [1]에 의해 UFD다.
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[3]
$$ \begin{align*} f(x) &:= a_{0} + a_{1} x + \cdots + a_{n} x^n \\ g(x) &:= b_{0} + b_{1} x + \cdots + b_{m} x^m \end{align*} $$ 원시 다항함수 $f(x) , g(x) \in D[x]$ 를 위와 같이 나타내자.
$p \in D$ 를 기약원이라고 두자.
- $f(x)$ 는 원시적이므로 $\gcd ( a_{0} , \cdots , a_{n} ) = 1$ 이고, $p$ 가 $a_{0} , \cdots , a_{n}$ 을 모두 나눌 순 없다. 이에 $i = 0, 1 , \cdots , n$ 에 대해 $p$ 가 $a_{i}$ 를 나눌 수 없게 되는 최초의 계수를 $a_{r}$ 이라고 두자.
- $g(x)$ 는 원시적이므로 $\gcd ( b_{0} , \cdots , b_{m} ) = 1$ 이고, $p$ 가 $b_{0} , \cdots , b_{m}$ 을 모두 나눌 순 없다. 이에 $j = 0, 1 , \cdots , m$ 에 대해 $p$ 가 $b_{j}$ 를 나눌 수 없게 되는 최초의 계수를 $b_{s}$ 라고 두자.
그러면 $f(x)g(x)$ 의 $( r + s)$ 차항의 계수는 $$ c_{r+s} = ( a_{0} b_{r+s} + \cdots + a_{r-1} b_{s+1} ) + a_{r} b_{s} + ( a_{r+1} b_{s-1} + \cdots + a_{r+s} b_{0} ) $$ 이고,
- $a_{r}$ 의 정의에 의해 $$ p \mid ( a_{0} b_{r+s} + \cdots + a_{r-1} b_{s+1} ) $$
- $b_{s}$ 의 정의에 의해 $$ p \mid ( a_{r+1} b_{s-1} + \cdots + a_{r+s} b_{0} ) $$
이다. 그러나 $p \nmid a_{r} b_{s}$ 이므로 주어진 $p$ 는 $f(x) g(x)$ 를 나눌 수 없다. 이는 모든 기약원에 대해서 마찬가지이므로, $f(x) g(x)$ 는 원시적이다.
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[4]
$f(x) \in D[x]$ 의 차수가 $n$ 이라고 하자.
그러면 $f(x)$ 는 $r \le n$ 개의 인수로 인수분해되어 $$ f (x) = g_{1} (x) \cdots g_{r} (x)) $$ 와 같이 나타낼 수 있다. 또한 $i = 1 , \cdots , r$ 에 대해 각각의 인수를 원시함수 $h_{i} (x) \in D[x]$ 와 $c_{i} \in D$ 의 곱인 $$ g_{i} (x) = c_{i} h_{i} (x) $$ 으로 나타낼 수 있다. 이러한 $c_{i}$ 를 $g_{i} (x)$ 의 컨텐트content라 부르며, 이를 통해 $$ f(x) = c_{1} h_{1} (x) \cdots c_{r} h_{r} (x) $$ 을 얻는다. 컨텐트는 주어진 $g_{i} (x)$ 와 $h_{i} (x)$ 에 대해 유일하므로, $f(x)$ 는 인수의 순서와 상수배를 고려하지 않으면 유일하게 인수분해된다.
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[5]
- [2]: $F$ 가 체면 상수함수가 아닌 모든 $f(x) \in F [ x ]$ 는 기약원의 곱들로 인수분해되는데, 그 방법은 유일하다.
UFD의 정의에 따라 $F [x_{1} ]$ 은 UFD고, 정리 [4]에 의해 $F [ x_{1} , x_{2} ]$ 역시 UFD다. 이를 유한한 $x_{3} , \cdots , x_{n}$ 에 대해 반복하면 $F[ x_{1} , \cdots , x_{n} ]$ 이 UFD라는 결론을 얻을 수 있다.
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