주 아이디얼 정역
정의 1
정역 $D$ 의 $p \ne 0$ 가 단원이 아니라고 하자.
PID
$D$ 의 모든 아이디얼이 주 아이디얼이면 $D$ 를 주 아이디얼 정역pID이라 한다.
따름정의
- 가환환 $R$ 이 단위원 $1$ 을 가진다고 하자. $a,b \in R$ 에 대해 $b=ac$ 를 만족하는 $c \in R$ 이 존재하면 $a$ 가 $b$ 를 나눈다divide 혹은 $a$ 가 $b$ 의 인수factor라 하고 $a \mid b$ 와 같이 나타낸다.
- $a \mid b$ 이고 $b \mid a$ 면 $a,b$ 가 연합associates이라 한다.
- $\forall a,b \in D$ 와 $p=ab$ 에 대해 $a$ 나 $b$ 중 하나가 단원이면 $p$ 를 기약원irreducible element이라 한다.
- $\forall a,b \in D$ 에 대해 $p \mid ab$ 이면 $p \mid a$ 혹은 $p \mid b$ 인 $p$ 를 소원소prime element라 한다.
정리 2
$D$ 가 주아이디얼 정역이라고 하자.
- [1]: $D$ 는 뇌터 환이다.
- [2]: $0$ 도 아니고 단원도 아닌 $d \in D$ 는 $D$ 의 기약원들의 곱으로 나타난다.
- [3]: $\left< p \right>$ 가 $D$ 의 극대 아이디얼 $\iff$ $p$ 는 $D$ 의 기약원
- [4]: $D$ 의 기약원은 소원소다.
설명
‘주 아이디얼 정역’이라는 말은 너무 길어서 보통 PID라는 약어를 많이 사용한다.
연합associative은 결합법칙associative과 스펠링은 같지만 명사형이라는 것에 주의해야하며, $-3,3 \in \mathbb{Z}$ 과 같이 서로 단원unit의 곱으로 나타낼 수 있는 관계다.
예시
정수환 $\mathbb{Z}$
정수환 $\mathbb{Z}$ 는 모든 아이디얼이 $n \mathbb{Z} = \left< n \right>$ 과 같이 주 아이디얼로 나타난다.
모든 체 $\mathbb{F}$
가우스 정수환 $\mathbb{Z} [i]$ 와 아이젠슈타인 정수환 $\mathbb{Z} [\omega]$
가우스 정수환과 아이젠슈타인 정수환는 각각 정수환 $\mathbb{Z}$ 에 순허수 $i := \sqrt{-1}$ 혹은 $\omega := (-1)^{1/3}$ 을 추가한 환이다.
증명
[1]
- $N$ 의 아이디얼들이 $S_{1} \le S_{2} \le \cdots$ 을 만족할 때 이를 오름사슬ascending Chain이라 한다.
- 오름사슬 $\left\{ S_{i} \right\}_{i \in \mathbb{N} }$ 에 대해 $S_{n} = S_{n+1} = \cdots$ 을 만족하는 $n \in \mathbb{n}$ 이 존재하면 정상적stationary이라 한다. 다시 말해 정상적 오름사슬에선 아이디얼이 어느 순간부터 더 이상 커지지 않는다.
- 모든 오름사슬이 정상적인 환을 뇌터 환이라 한다.
$D$ 의 아이디얼의 오름 사슬 $N_{1} \le N_{2} \le \cdots$ 과 그 합집합 $\displaystyle N := \bigcup_{k=1}^{ \infty } N_{k}$ 를 생각해보자. 어떤 $i, j \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ a \in N_{i} \\ b \in N_{j} \\ N_{i} \le N_{j} $$ 라고 하면 $( N_{j} , + , \cdot )$ 은 아이디얼로 정의되었으므로 부분환이고, $b$ 의 덧셈에 대한 역원 $(-b) \in N_{j}$ 가 존재한다. 또한 $ab \in N_{j}$ 이므로, $(a-b), ab \in N$ 이고 부분환 판정법에 의해 $N$ 은 $D$ 의 부분환이 된다. 그뿐만이 아니라 $N_{i}$ 가 아이디얼이므로 모든 $d \in D$ 에 대해 $d a = a d$ 고, $da \in N$ 이므로 $N$ 은 $D$ 의 아이디얼이 된다.
$D$ 는 PID이므로 모든 아이디얼이 주 아이디얼이고, 어떤 $c \in N$ 에 대해 $N = \left< c \right>$ 와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 $\displaystyle N = \bigcup_{k=1}^{ \infty } N_{k}$ 이므로, $c \in N$ 라면 $c \in N_{r}$ 을 만족하는 자연수 $r \in \mathbb{N}$ 이 존재해야한다. $c \in N_{r}$ 이라는 것은 $N_{r}$ 보다 작은 아이디얼 중엔 $c$ 를 생성원으로 갖는 주 아이디얼이 존재한다는 의미다. 수식으로 쓰면 $$ \left< c \right> \le N_{r} \le N_{r+1} \le \cdots \le N = \left< c \right> $$ 이므로, $N_{r} = N_{r+1} = \cdots$이다. 따라서 $D$ 는 뇌터 환이다.
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[2]
$d$ 가 기약원이면 증명할 게 없으므로, 단원이 아닌 $d_{1}, c_{1} \in D$ 에 대해 $d = d_{1} c_{1}$ 과 같이 나타난다고 해보자.
그러면 $\left< d \right> \le \left< d_{1} \right>$ 이고, $d_{i} := d_{i+1} c_{i+1}$ 을 계속 정의하면 오름사슬 $$ \left< d \right> \le \left< d_{1} \right> \le \left< d_{2} \right> \le \cdots $$ 을 얻는다. 그런데 정리 [1]에 의하면 이 사슬이 끝나는 $a_{r}$ 이 존재해야하며, $a_{r}$ 는 동시에 $a$ 의 인수가 되는 기약원이 된다. 이렇듯 $d$ 를 나누는 기약원을 $p_{1}$ 이라고 두고 단원이 아닌 $f_{1}$ 에 대해 $d = p_{1} f_{1}$ 라고 하자. 그러면 $\left< d \right> \le \left< f_{1} \right>$ 이고, $f_{i} := p_{i+1} f_{i+1}$ 을 계속 정의하면 오름사슬 $$ \left< d \right> \le \left< f_{1} \right> \le \left< f_{2} \right> \le \cdots $$ 을 얻는다. 이 역시 정리 [1]에 의하면 이 사슬이 끝나는 $f_{s}$ 가 존재해야하며, $f_{s}$ 는 동시에 $f_{i}$ 의 인수가 되는 기약원이 된다.
이 과정을 유한번 반복함으로써 $d$ 는 기약원들의 곱으로 나타남을 확인할 수 있다.
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[3]
$( \implies )$
$D$ 의 극대 아이디얼 $\left< p \right>$ 의 $p$ 가 $D$ 의 단원이 아닌 $a,b$ 에 대해 $p=ab$ 와 같이 나타난다고 가정해보자.
그러면 $\left< p \right> \le \left< a \right>$ 인데, $\left< p \right> = \left< a \right>$ 면 $b$ 가 단원이어야 하므로 사실 $\left< p \right> \lneq \left< a \right>$ 을 얻는다. 그런데 $\left< p \right>$ 이 극대 아이디얼이므로 $\left< a \right> = D = \left< 1 \right>$ 이어야하고, $a$ 와 $1$ 은 연합이 된다. 정리하면
- $\left< p \right> \ne \left< a \right>$ 일 땐 $a$ 가 단원이고
- $\left< p \right> = \left< a \right>$ 일 땐 $b$ 가 단원이므로
$p$ 는 기약원이 될 수밖에 없다.
$( \impliedby )$
기약원 $p=ab$ 에 대해 $\left< p \right> \le \left< a \right>$ 이라고 가정해보자.
$a$ 가 단원이면 $\left< a \right> = D$ 이므로 문제가 없지만, $a$ 가 단원이 아니면 $b$ 는 반드시 단원이어야한다.
$b$ 가 단원이라는 말은 어떤 $u \in D$ 에 대해 $bu =1$ 이라는 뜻인데, $$ pu = abu = a $$ 이므로 $\left< p \right> \ge \left< a \right>$, 즉 $\left< p \right> = \left< a \right>$ 이어야한다. 정리하면
- $\left< a \right> = D$ 이거나
- $\left< a \right> = \left< p \right>$ 이어야하므로
$\left< p \right>$ 는 극대 아이디얼이 된다.
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[4]
$p$ 가 기약원이라고 하면 $\left< p \right>$ 는 정리 [3]에 의해 극대 아이디얼이고, $1 \in D$ 이므로 소 아이디얼이다.
$p$ 가 $ab$ 를 나눈다고 하면 $(ab) \in \left< p \right>$ 이고, $\left< p \right>$ 는 소 아이디얼이므로 $a \in \left< p \right>$ 혹은 $b \in \left< p \right>$ 이다. 이것을 다르게 적어보면 $p \mid ab$ 일 때 $p \mid a$ 혹은 $p \mid b$ 이므로, $p$ 는 소원소가 된다.
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