뇌터 환
정의
$N$ 을 환이라고 하자.
- $N$ 의 아이디얼들이 $S_{1} \le S_{2} \le \cdots$ 을 만족할 때 이를 오름사슬ascending Chain이라 한다.
- 오름사슬 $\left\{ S_{i} \right\}_{i \in \mathbb{N} }$ 에 대해 $S_{n} = S_{n+1} = \cdots$ 을 만족하는 $n \in \mathbf{n}$ 이 존재하면 정상적stationary이라 한다. 다시 말해 정상적 오름사슬에선 아이디얼이 어느 순간부터 더 이상 커지지 않는다.
- 모든 오름사슬이 정상적인 환을 뇌터 환이라 한다.
- 그 반대로 점점 작아지는 사슬에 대해서는 내림descending이라는 표현을 사용한다.
설명
사슬은 사실 아이디얼에만 해당하는 개념이 아니며, 집합론에선 부분순서집합이나 관계를 정의해가면서 훨씬 더 엄밀하고 일반적으로 다룬다. 그러나 보통 오름사슬이 필요한 곳은 대수학이고, 대수학에선 그렇게까지 어렵게 이해할 필요가 없다.
어떤 반복적인 구조 속에서 유한한 곳에 가장 큰 것이 존재한다는 것은 생각보다 당연한 일이 아니다. 그래서 뇌터 환이라는 조건은 상당히 좋은 조건이며, 다음의 유명한 정리가 여러 분야에서 응용되고 있다.
힐베르트 기저 정리
$N$ 이 뇌터 환이면 $N [ x_{1} , \cdots , x_{n} ]$ 도 뇌터 환이다.