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힐베르트 공간은 리플렉시브임을 증명 📂힐베르트공간

힐베르트 공간은 리플렉시브임을 증명

정리

힐베르트공간 HH 은 리플렉시브다: H∗∗≈H H^{\ast \ast} \approx H

  • X∗X^{\ast} 는 XX 의 듀얼 스페이스고, X∗∗X^{\ast \ast} 는 더블듀얼을 나타낸다.
  • X≈YX \approx Y 는 XX 와 YY 가 아이소메트릭함을 의미한다.

설명

짧고 간단하지만 힐베르트 공간을 연구함에 있어서 듀얼 스페이스보다 커지는 것을 생각할 필요가 없다는 것은 굉장히 좋은 일이다.

증명

  • Part 1. (H∗,∥⋅∥)(H^{ \ast } , \| \cdot \| )은 힐베르트 공간이다

    리즈 표현 정리: HH가 힐베르트 공간이라고 하자. HH의 선형 범함수 f∈H∗f \in H^{ \ast }와 x∈H\mathbf{x} \in H 에 대해 f(x)=⟨x,y⟩f ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y} \right\rangle와 ∥f∥=∥y∥\| f \| = \| \mathbf{y} \| 을 만족하는 y∈H\mathbf{y} \in H 가 유일하게 존재한다.

    함수 ⟨⋅,⋅⟩∗:H∗×H∗→C\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast } : H^{ \ast } \times H^{ \ast } \to \mathbb{C} 를 ⟨f,g⟩∗:=⟨yg,yf⟩=f(yg)\displaystyle \left\langle f, g \right\rangle^{ \ast } : = \left\langle \mathbf{y}_{g}, \mathbf{y}_{f} \right\rangle = f ( \mathbf{y}_{g} ) 와 같이 정의하자. 여기서 yf,yg∈H\mathbf{y}_{f}, \mathbf{y}_{g} \in H 는 리즈 표현 정리에서 ∥f∥=∥yf∥\| f \| = \| \mathbf{y}_{f} \| 와 ∥g∥=∥yg∥\| g \| = \| \mathbf{y}_{g} \| 를 만족하는 원소들이다.

    그러면 ⟨⋅,⋅⟩∗\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast } 는 아래의 세가지 조건을 만족시켜 H∗H^{ \ast } 의 내적이 된다.

    (i): ⟨λf1+f2,g⟩∗=(λf1+f2)(yg)=λf1(yg)+f2(yg)=λ⟨f1,g⟩∗+⟨f2,g⟩∗\left\langle \lambda f_{1} + f_{2} , g \right\rangle^{ \ast } = ( \lambda f_{1} + f_{2} ) ( \mathbf{y}_{g} )= \lambda f_{1}( \mathbf{y}_{g} ) + f_{2} ( \mathbf{y}_{g} ) = \lambda \left\langle f_{1}, g \right\rangle^{ \ast } + \left\langle f_{2}, g \right\rangle^{ \ast }

    (ii): ⟨f,g⟩∗=⟨yg,yf⟩=⟨yf,yg⟩‾=⟨g,f⟩∗‾\left\langle f , g \right\rangle^{ \ast } = \left\langle \mathbf{y}_{g} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \overline{ \left\langle \mathbf{y}_{f} , \mathbf{y}_{g} \right\rangle } = \overline{ \left\langle g , f \right\rangle^{ \ast } }

    (iii): ⟨f,f⟩∗=⟨yf,yf⟩=∥yf∥2≥0\left\langle f , f \right\rangle^{ \ast } = \left\langle \mathbf{y}_{f}, \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \| \mathbf{y}_{f} \|^{2} \ge 0 그리고 ⟨f,f⟩∗=∥yf∥2=0  ⟺  yf=0  ⟺  f=0\left\langle f , f \right\rangle^{ \ast } = \| \mathbf{y}_{f} \|^{2} = 0 \iff \mathbf{y}_{f} = 0 \iff f = 0

    선형 작용소의 성질: YY가 바나흐 공간이면 (B(X,Y),∥⋅∥)(B(X,Y), \left\| \cdot \right\| )는 바나흐 공간이다.

    여기서 Y=CY=\mathbb{C}가 바나흐 공간이므로, (B(X,Y),∥⋅∥)=(H∗,∥⋅∥)(B(X,Y), \left\| \cdot \right\|) = (H^{\ast}, \left\| \cdot \right\|)도 바나흐 공간이다. H∗H^{\ast}가 내적이 정의된 완비 공간이므로 힐베르트 공간이 된다.

  • Part 2.

    함수 Φ\Phi 를 정의한다. 함수 f∈H∗f \in H^{ \ast } 에 x∈H\mathbf{x} \in H 를 대입하는 함수 ϕx∈H∗∗\phi_{\mathbf{x}} \in H^{\ast \ast} 를 이용해 Φ:H→H∗∗\Phi : H \to H^{\ast \ast} 가 Φ(x):=ϕx(f)=f(x)\Phi (\mathbf{x}) := \phi_{\mathbf{x}} (f) = f(\mathbf{x}) 가 되도록 정의하자.

  • Part 3. Φ\Phi는 선형이다

    f∈H∗f \in H^{ \ast } 이므로 Φ(λx+y)=f(λx+y)=λf(x)+f(y)=λΦ(x)+Φ(y)\Phi ( \lambda \mathbf{x} + y) = f ( \lambda \mathbf{x} + y) = \lambda f ( \mathbf{x} ) + f ( y) = \lambda \Phi ( \mathbf{x} ) + \Phi ( y)

  • Part 4. Φ\Phi 는 단사다

    x∈ker⁡Φ\mathbf{x} \in \ker \Phi 이라고 하면 0=Φ(x)=f(x)\mathbb{0} = \Phi (\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) 이므로 x∈ker⁡f\mathbf{x} \in \ker f리즈 표현 정리에서 얻은 ff 에 대입함수를 취하면 ϕx(f)=f(x)=⟨x,yf⟩=0\phi_x (f) = f(\mathbf{x}) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle = \mathbb{0} 이것은 yf\mathbf{y}_{f} 에 상관없이 성립해야하므로 x=0\mathbf{x} = \mathbb{0} 이어야만한다.

    커널의 성질: ker⁡Φ={0}  ⟺  Φ\ker \Phi = \left\{ \mathbb{0} \right\} \iff \Phi 는 단사다.

    ker⁡Φ={0}\ker \Phi = \left\{ \mathbb{0} \right\} 이므로, 커널의 성질에 의해 Φ\Phi 는 단사다.

  • Part 5. Φ\Phi 는 전사다.

    이미 Part 1. 에서 H∗H^{ \ast } 가 힐베르트 공간임을 보였으므로 리즈 표현 정리를 사용할 수 있다.

    • Part 5-1.

      F∈H∗∗(F:H∗∗→C)F \in H^{\ast \ast} ( F : H^{\ast \ast} \to \mathbb{C}) 에 대해 F(⋅)=⟨⋅,gF⟩∗F( \cdot ) = \left\langle \cdot , g_{F} \right\rangle^{ \ast } 와 ∥F∥=∥gF∥\| F \| = \| g_{F} \| 를 만족하는 gF∈H∗g_{F} \in H^{ \ast } 가 유일하게 존재한다.

    • Part 5-2.

      gF∈H∗(gF:H∗→C)g_{F} \in H^{ \ast } ( g_{F} : H^{ \ast } \to \mathbb{C}) 에 대해 gF(⋅)=⟨⋅,xgF⟩g_{F} ( \cdot ) = \left\langle \cdot , \mathbf{x}_{g_{F}} \right\rangle 와 ∥gF∥=∥xgF∥ \| g_{F} \| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \| 를 만족하는 xgF∈H\mathbf{x}_{g_{F}} \in H 가 유일하게 존재한다.

      F(f)=⟨f,gF⟩∗by Part 5-1.=⟨f,gF⟩∗by definition of ⟨⋅,⋅⟩∗=⟨xgF,yf⟩∗by definition of ⟨⋅,⋅⟩=f(xgF)by Riesz Representation Theorem=Φ(xgF)by definition of Φ \begin{align*} F(f) =& \left\langle f , g_{F} \right\rangle^{ \ast } & \text{by Part 5-1.} \\ =& \left\langle f , g_{F} \right\rangle^{ \ast } &\text{by definition of } \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle^{ \ast } \\ =& \left\langle \mathbf{x}_{g_{F}} , \mathbf{y}_{f} \right\rangle^{ \ast } &\text{by definition of }\left\langle \cdot , \cdot \right\rangle \\ =& f \left( \mathbf{x}_{g_{F}} \right) & \text{by Riesz Representation Theorem} \\ =& \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) &\text{by definition of } \Phi \end{align*}

    따라서 모든 F(f)∈H∗∗F(f) \in H^{\ast \ast} 에 대해서 Φ(xgF)=F(f)\Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = F(f) 를 만족하는 xgF∈H\mathbf{x}_{g_{F}} \in H 가 존재하므로 Φ\Phi 는 전사다.

  • Part 6. Φ\Phi 는 놈을 보존한다.

    Φ\Phi 의 정의에서 Φ(xgF)=ϕxgF(f)\Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } (f) 이므로

    Φ(xgF)=ϕxgF(f)=F(f) \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) = \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } (f) = F(f)

    다시말해

    ∥Φ(xgF)∥=∥ϕxgF∥=∥F∥ \left\| \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) \right\| = \left\| \phi_{ \mathbf{x}_{g_{F}} } \right\| = \left\| F \right\|

    그런데 Part 5-1. 에서 ∥F∥=∥gF∥\| F \| = \| g_{F} \|, Part 5-2. 에서 ∥gF∥=∥xgF∥\| g_{F} \| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \| 이었으므로

    ∥Φ(xgF)∥=∥xgF∥ \left\| \Phi ( \mathbf{x}_{g_{F}} ) \right\| = \| \mathbf{x}_{g_{F}} \|

위의 Part 2. 부터 Part 6. 까지를 정리하면 Φ\Phi 는 아이소메트리임을 알 수 있다.

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