쌍곡함수의 라플라스 변환
공식1
쌍곡사인함수와 쌍곡코사인함수의 라플라스 변환은 다음과 같다.
$$ \mathcal{L} \left\{ \sinh (at) \right\} = \dfrac{a}{s^2-a^2},\quad s>|a| \\ \mathcal{L} \left\{ \cosh (at) \right\} = \dfrac{s}{s^2-a^2},\quad s>|a| $$
설명
쌍곡함수의 정의는 다음과 같다.
$$ \sinh (ax) = \dfrac{ e^{ax} - e^{-ax} }{ 2 } \\ \cosh (ax) = \dfrac{ e^{ax} + e^{-ax} }{ 2 } $$
유도
지수함수의 라플라스 변환 결과를 이용한다.
$\sinh (at)$
$$ \begin{align*} \mathcal{ L } \left\{ \sinh (at) \right\} &= \int_{0}^\infty e^{-st} \sinh (at) dt \\ &= \int _{0} ^\infty e^{-st} \left( \dfrac{ e^{at} - e^{-at} }{ 2 } \right) dt \\ &= \dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-st}e^{at} dt -\dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-st}e^{-at} dt \\ &= \dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-(s-a)t} dt -\dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-(s+a)t} dt \\ &= \dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-(s-a)t} dt -\dfrac{1}{2}\int _{0}^\infty e^{-(s+a)t} dt \\ &= \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{s-a} - \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{s+a} \\ &= \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{s-a} -\dfrac{1}{s+a} \right) \\ &= \dfrac{1}{2}\dfrac{2a}{s^2-a^2} \\ &= \dfrac{a}{s^2-a^2} \end{align*} $$
단, $\lim \limits_{A \to \infty} e^{-(s-a)A}$와 $\lim \limits_{A \to \infty} e^{-(s+a)A}$가 $0$으로 수렴해야 하므로
$$ s>a \quad \text{and} \quad s>-a $$
따라서 $s>|a|$라는 조건이 붙는다.
■
$\cosh (at)$
이미 구한 $\sinh (at)$의 라플라스 변환 결과를 이용하여 구한다.
$$ \begin{align*} &&\mathcal {L} \left\{ e^{at} \right\} &= \mathcal{ L} \left\{ \cosh (at) \right\} + \mathcal{L} \left\{ \sinh (at) \right\} \\ \implies&& \mathcal{L} \left\{ \cosh (at) \right\} &= \dfrac{1}{s-a} -\dfrac{a}{s^2-a^2} \\ && &=\dfrac{s+a}{s^2-a^2}-\dfrac{a}{s^2-a^2} \\ && &=\dfrac{s}{s^2-a^2},\quad s>|a| \end{align*} $$
■
같이보기
William E. Boyce, Boyce’s Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition, 2017), p247 ↩︎