📂추상대수

추상대수학에서의 래디컬과 닐래디컬

정의 ¹

$N$ 이 환 $R$ 의 아이디얼이라고 하자.

1. $\text{rad} N := \left\{ a \in R \ | \ a^n \in N \right\}$ 을 $N$ 의 래디컬^radical이라 한다.
2. $a^{n} = 0$ 을 만족하는 $n \in \mathbb{N}$ 이 존재하면 $a$ 가 닐포텐트^nilpotent라 한다.
3. 닐포텐트 엘러먼트들의 집합 $\text{nil} R := \left\{ a \in R \ | \ a^n = 0 \right\}$ 을 $R$ 의 닐래디컬^nilradical이라 한다.

설명

아주 간단한 예로써 정수환 $\mathbb{Z}$에서 4배수의 집합 $4 \mathbb{Z}$ 은 $\mathbb{Z}$ 의 아이디얼이고, 짝수의 집합 $2 \mathbb{Z}$ 는 $4 \mathbb{Z}$ 의 래디컬이 된다.

$N$ 의 래디컬을 $\sqrt{N}$, $R$ 의 닐래디컬을 $\sqrt{0}$ 이라고 나타낸다. $\sqrt{N}$ 의 원소를 몇번 거듭제곱하면 $N$ 의 원소를 만들 수 있다는 점에서 충분히 말이 되는 표현으로 볼 수 있겠다.

다음의 두 정리는 아이디얼이 필요할 때 구체적으로 $\sqrt{N}$ 와 $\sqrt{0}$ 을 잡을 수 있다는 점에서 유용하다. 래디컬과 닐래디컬은 꽤나 강한 조건을 만족하고 있어서 다루기도 쉽다.

정리

유니티를 가지는 가환환 $R$ 에 대해 $N$ 이 $R$ 의 아이디얼이라고 하자.

• [1]: $\sqrt{N}$ 은 $R$ 의 아이디얼이다.
• [2]: $\sqrt{0}$ 은 $R$ 의 아이디얼이다.

증명

[1]

$N$ 은 아이디얼이므로 모든 $r \in R$ 와 $a \in N$ 에 대해 $$ ra \in N $$ 이고 $R$ 이 환이라 곱셈에 대해 닫혀있으므로 $r^{n} \in R$ 이다. 여기서 한번 더, $N$ 은 아이디얼이므로 $r^{n} \in R$ 에 대해서도 $r^{n} N \subset N$ 이어야 하고, 따라서 $a^{n} \in N$ 에 대해서도 $$ r^{n} a^{n} \in N $$ 이어야 한다. 가정에서 $R$ 이 가환환이므로 $r^{n} a^{n} = (ra)^{n}$ 이고, $$ (ra)^{n} \in N \implies ra \in \sqrt{N} \implies a \in r \sqrt{N} $$ 다. 따라서 $$ r \sqrt{N} = \sqrt{N} r \subseteq \sqrt{N} $$ 이다. 이제 $( \sqrt{N} , + )$ 이 $R$ 의 부분군이 됨을 보이면 되는데, 항등원과 역원이 존재하는지만 체크하자.

• (ii): $0^{n} \in N$ 이므로, $0$ 은 $\sqrt{n}$ 의 항등원으로써 존재한다.
• (iii): 모든 $a$ 에 대해 $(-a)^{n} = (-1)^{n} a^{n} \in N$ 이므로, $-a \in \sqrt{N}$ 이 $a$ 의 역원으로써 존재한다.

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[2]

$R$ 은 가환환이므로 $r \in R$, $a \in \sqrt{0}$ 에 대해 $$ (ra)^{n} = r^{n} a^{n} = 0 $$ 이고, $ra \in r \sqrt{0}$ 이므로 $$ r \sqrt{0} = \sqrt{0} r \subset \sqrt{0} $$ 이다. 이제 $( \sqrt{0} , + )$ 이 $R$ 의 부분군이 됨을 보이면 되는데, 항등원과 역원이 존재하는지 체크하자.

• (ii): $0^{1} = 0$ 이므로, $0$ 은 $\sqrt{0}$ 의 항등원으로써 존재한다.
• (iii): 모든 $a$ 에 대해 $(-a)^{n} = (-1)^{n} a^{n} = 0$ 이므로, $-a \in \sqrt{0}$ 이 $a$ 의 역원으로써 존재한다.

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