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벡터 삼중곱, BAC-CAB 공식

공식

$$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} )-\mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$$

설명

위 공식의 좌변을 벡터 삼중곱^{vector triple product}이라 한다. 우변의 결과를 간단하게 BAC-CAB(백캡) 이라고 한다. 벡터 삼중곱은 벡터를 3번 곱하는 연산 중에서 그 결과가 벡터인 것이다. 결과가 벡터로 나오기 위해서 식에는 외적만 두 번 들어간다. 두 벡터의 외적은 여전히 벡터이므로 다시 다른 벡터와 외적할 수 있다.

결과가 스칼라인 것은 스칼라 삼중곱이라 부른다. 그 모양은 아래와 같다.

$$\mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}\times \mathbf{C})$$

단, 내적의 연산결과가 스칼라기 때문에 내적이 두 번 들어가거나 내적과 외적의 연산순서가 반대라면 틀린식이 된다.

$$\mathbf{A}\cdot (\mathbf{B}\cdot \mathbf{C}) \to \text{틀린 식}$$

$$\mathbf{A}\times (\mathbf{B}\cdot \mathbf{C})\to \text{틀린 식}$$

또한 외적은 결합법칙이 성립하지 않기 때문에 아래와 같이 등호가 성립하지 않는다.

$$\mathbf{A}\times (\mathbf{B}\times \mathbf{C})\neq (\mathbf{A}\times \mathbf{B})\times \mathbf{C}$$

증명

아래의 증명은 3차원 직교좌표계에 대한 내용이며, 증명에서는 아인슈타인 표기법을 사용하여 합기호 $\sum$을 생략하였다.

레비-치비타 심볼을 이용한 증명

$$\begin{align*} \mathbf{A} \times (\mathbf{ B }\times \mathbf{ C })=&\ \epsilon _{ ijk }\mathbf{e}_{i}A_{ j }(B\times C)_{ k } \\ =&\ \epsilon _{ ijk }\mathbf{e}_{i}A_{ j }(\epsilon _{ klm }B_{ l }C_{ m }) \\ =&\ \epsilon _{ ijk }\epsilon _{ klm }\mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ l }C_{ m } \\ =&\ (\delta _{ il }\delta _{ jm }-\delta _{ im }\delta _{ jl })(\mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ l }C_{ m }) \\ =&\ \delta _{ il }\delta _{ jm }\mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ l }C_{ m }-\delta _{ im }\delta _{ jl }\mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ l }C_{ m } \\ =&\ \mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ i }C_{ j }-\mathbf{e}_{i}A_{ j }B_{ j }C_{ i } \\ =&\ \mathbf{e}_{i}B_{ i }A_{ j }C_{ j }-\mathbf{e}_{i}C_{ i }A_{ j }B_{ j } \\ =&\ \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} )-\mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \end{align*}$$

네번째 등호는 $\epsilon_{ijk}\epsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$이므로 성립한다.

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증명을 보면 알겠지만 몇 번 연습해보면 공식을 까먹어도 시험치는 도중에 유도할 수 있을 정도이다.

직접 계산

$$\begin{align*} & \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) \\ =&\ \mathbf{A} \times \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ B_{x} & B_{y} & B_{z} \\ C_{x} & C_{y} & C_{z}\end{vmatrix} \\ =&\ \mathbf{A} \times \Big[ (B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y})\hat{\mathbf{x}} + (B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z})\hat{\mathbf{y}} +(B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x})\hat{\mathbf{z}} \Big] \\ =&\ \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{x}} & \hat{\mathbf{y}} & \hat{\mathbf{z}} \\ A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y} & B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z} & B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x}\end{vmatrix} \\ =&\ \Big[ A_{y}(B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x})-A_{z}(B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z}) \Big]\hat{\mathbf{x}} \\ &\quad +\Big[ A_{z}(B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y})-A_{x}(B_{x}C_{y}-B_{y}C_{x}) \Big]\hat{\mathbf{y}} \\ &\quad +\Big[ A_{x}(B_{z}C_{x}-B_{x}C_{z})-A_{y}(B_{y}C_{z}-B_{z}C_{y}) \Big]\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ (A_{y}B_{x}C_{y}+A_{z}B_{x}C_{z}-A_{y}B_{y}C_{x}-A_{z}B_{z}C_{x}) \hat{\mathbf{x}} \\ &\quad +(A_{z}B_{y}C_{z}+A_{x}B_{y}C_{x}-A_{z}B_{z}C_{y}-A_{x}B_{x}C_{y}) \hat{\mathbf{y}} \\ &\quad +( A_{x}B_{z}C_{x}+A_{y}B_{z}C_{y}-A_{x}B_{x}C_{z}-A_{y}B_{y}C_{z}) \hat{\mathbf{z}} \end{align*}$$ ​ $$\begin{align*} & \mathbf{B}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{C}) - \mathbf{C}(\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}) \\ =&\ B_{x}(A_{x}C_{x}+A_{y}C_{y}+A_{z}C_{z})\hat{\mathbf{x}} -C_{x}(A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z})\hat{\mathbf{x}} \\ &\quad + B_{y}(A_{x}C_{x}+A_{y}C_{y}+A_{z}C_{z})\hat{\mathbf{y}} -C_{y}(A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z})\hat{\mathbf{y}} \\ &\quad + B_{z}(A_{x}C_{x}+A_{y}C_{y}+A_{z}C_{z})\hat{\mathbf{z}} -C_{z}(A_{x}B_{x}+A_{y}B_{y}+A_{z}B_{z})\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ ({\color{red}A_{x}B_{x}C_{x}}+A_{y}B_{x}C_{y}+A_{z}B_{x}C_{z}{\color{red}-A_{x}B_{x}C_{x}}-A_{y}B_{y}C_{x}-A_{z}B_{z}C_{x})\hat{\mathbf{x}} \\ &\quad + (A_{x}B_{y}C_{x}+{\color{red}A_{y}B_{y}C_{y}}+A_{z}B_{y}C_{z}-A_{x}B_{x}C_{y} {\color{red}-A_{y}B_{y}C_{y}}-A_{z}B_{z}C_{y})\hat{\mathbf{y}} \\ &\quad + (A_{x}B_{z}C_{x}+A_{y}B_{z}C_{y}+{\color{red}A_{z}B_{z}C_{z}}-A_{x}B_{x}C_{z}-A_{y}B_{y}C_{z} {\color{red}-A_{z}B_{z}C_{z}})\hat{\mathbf{z}} \\ =&\ (A_{y}B_{x}C_{y}+A_{z}B_{x}C_{z}-A_{y}B_{y}C_{x}-A_{z}B_{z}C_{x}) \hat{\mathbf{x}} \\ &\quad +(A_{z}B_{y}C_{z}+A_{x}B_{y}C_{x}-A_{z}B_{z}C_{y}-A_{x}B_{x}C_{y}) \hat{\mathbf{y}} \\ &\quad +( A_{x}B_{z}C_{x}+A_{y}B_{z}C_{y}-A_{x}B_{x}C_{z}-A_{y}B_{y}C_{z}) \hat{\mathbf{z}} \end{align*}$$

두 식이 같으므로 다음의 식을 얻는다.

$$\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C} )= \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} )-\mathbf{C}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$$

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따름정리

$$[\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})] +[\mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{A})] +[\mathbf{C} \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})] = \mathbf{0}$$

증명

BAC-CAB 공식에 의해 다음의 식들이 성립한다.

$$\begin{align*} \mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C}) =&\ \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) -\mathbf{C} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}) \\ \mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{B}) =&\ \mathbf{C}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}) -\mathbf{A} (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) \\ \mathbf{C} \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) =&\ \mathbf{A}(\mathbf{C} \cdot \mathbf{B}) -\mathbf{B} (\mathbf{C} \cdot \mathbf{A}) \end{align*}$$

위 식들을 다 더하면 다음과 같다.

$$\begin{align*} & \left[\mathbf{A} \times (\mathbf{B} \times \mathbf{C})\right] +\left[\mathbf{B} \times (\mathbf{C} \times \mathbf{A})\right] +\left[\mathbf{C} \times (\mathbf{A} \times \mathbf{B})\right] \\ =&\ \mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) -\mathbf{C} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})+\mathbf{C}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}) -\mathbf{A} (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C}) +\mathbf{A}(\mathbf{C} \cdot \mathbf{B}) -\mathbf{B} (\mathbf{C} \cdot \mathbf{A}) \\ =&\ \left[\mathbf{A}(\mathbf{C} \cdot \mathbf{B}) -\mathbf{A} (\mathbf{B} \cdot \mathbf{C})\right] +\left[\mathbf{B}(\mathbf{A} \cdot \mathbf{C}) -\mathbf{B} (\mathbf{C} \cdot \mathbf{A}) \right] +\left[\mathbf{C}(\mathbf{B} \cdot \mathbf{A}) -\mathbf{C} (\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})\right] \\ =&\ \mathbf{0} \end{align*}$$

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