📂위상수학

위상수학에서의 함수공간

정의 ¹

위상공간 $X$ 와 $Y$ 에 대해 다음과 같이 정의된 곱 공간 $Y^{X}$를 함수 공간이라 한다. $$ Y^{X} : = \prod_{x \in X} Y = \left\{ f \ | \ f : X \to Y \text{ is a function} \right\} $$

함수공간의 위상이 되는 것으로 다음이 있다:

1. $x \in X$ 와 $Y$ 에서 열린 집합 $U$ 에 대해 $$ S (x , U) = \left\{ f \in Y^{X} \ | \ f(x) \in U \right\} $$ 라 하자. 부분기저 $\left\{ S(x,U) \ | \ x \in X , U \subset Y \right\}$ 로 생성되는 $Y^{X}$ 의 위상을 포인트-오픈 위상^{point-Open Topology}이라 한다.
2. 컴팩트 집합 $K \subset X$ 와 $Y$ 에서 열린 집합 $U$ 에 대해 $$ S (K , U) = \left\{ f \in Y^{X} \ | \ f(K) \subset U \right\} $$ 라 하자. 부분기저 $\left\{ S(K,U) \ | \ K \subset X , U \subset Y \right\}$ 로 생성되는 $Y^{X}$ 의 위상을 컴팩트-오픈 위상^{compact-Open Topology}이라 한다.

$(Y,d)$ 가 거리공간이라고 하자.

3. 컴팩트 집합 $K \subset X$ 와 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$ B_{K} (f, \epsilon) = \left\{ g \in Y^{X} \ \left| \ \sup_{x \in K} \left\{ d(f(x),g(x)) \right\} < \varepsilon \right. \right\} $$ 라 하자. 기저 $\left\{ B_{K} (f, \varepsilon ) \ | \ K \subset X , \varepsilon > 0 \right\}$ 로 생성되는 $Y^{X}$ 의 위상을 컴팩트 수렴 위상^{topology of Compact Convergence}이라 한다.
4. 유니폼 거리 $$ \overline{ \rho } (f,g) : = \sup_{x \in X} \left\{ \min \left\{ d(f(x) , g(x) ) , 1 \right\} \right\} $$ 로 생성되는 거리공간 $(Y^{X} , \overline{ \rho } )$ 의 위상을 유니폼 위상^{uniform Topology}이라 한다.

정리

• [1]: 포인트-오픈 위상보다 컴팩트-오픈 위상이 더 크다.
• [2]: 포인트-오픈 위상보다 컴팩트 수렴 위상이 더 크다.
• [3]: 컴팩트-오픈 위상보다 유니폼 위상이 더 크다.
• [4]: 컴팩트 수렴 위상보다 유니폼 위상이 더 크다.
• [5]: $X$ 가 이산 공간이면 $Y^{X}$ 의 컴팩트 수렴 위상은 포인트-오픈 위상과 같다.
• [6]: $X$ 가 컴팩트 공간이면 $Y^{X}$ 의 컴팩트 수렴 위상은 일양 위상과 같다.

$\left\{ f_{n} : X \to Y \right\}$ 이 $Y^{X}$ 에서의 수열이라고 할 때, 정의역을 $K \subset X$ 로 제한한 함수를 $f_{n} |_{K} : K \to Y$ 라고 나타내도록 하자.

• [7]: $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $Y^{X}$ 의 포인트-오픈 위상에 속한 $f$ 로 수렴한다. $\iff$ 모든 $x \in X$ 에 대해 $ f_{n} (x) $ 는 $f(x)$ 로 수렴한다.
• [8]: $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $Y^{X}$ 의 컴팩트 수렴 위상에 속한 $f$ 로 수렴한다. $\iff$ 모든 컴팩트 $K \subset X$ 에 대해 $f_{n} |_{K}$ 는 $f |_{K}$ 로 균등수렴한다.

정의역이 위상공간 $X$ 이고 공역이 거리 공간 $Y$ 인 연속함수들의 집합을 $$ C(X,Y) := \left\{ f \in Y^{X} \ | \ f \text{ is continuous} \right\} $$ 이라고 하고 $C(X,Y)$ 를 $Y^{X}$ 의 부분공간이라고 하자.

• [9]: $C(X,Y)$ 의 컴팩트-오픈 위상과 컴팩트 수렴 위상은 같다.
• [10]: $C(X,Y)$ 의 컴팩트 수렴 위상은 $Y$ 의 거리 함수와 상관 없다.
• [11]: $C(X,Y)$ 의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 이 $f \in Y^{X}$ 로 수렴하면 $f : X \to Y$ 는 연속함수다.

설명

특히 $C(X, \mathbb{R})$ 를 $C(X)$ 와 같이 나타내고, 특히 $X$ 가 구간일 때, 즉 $X=(a,b)$, $X=[a,b]$ 일 땐 각각 $C(a,b)$, $C[a,b]$ 로 나타내기도 한다.

[1]~[4]

요약해서 대충 말해보면 포이트 오픈 위상이 작은 편이고 유니폼 위상이 큰 편이라고 할 수 있다.

[7], [8]

함수가 균등연속임을 보이는데 유용하게 쓰일 수 있다.

[10], [11]

일반위상을 해석학의 일반화로 봤을 때, 팩트로써 아주 중요하다.