位相数学における関数空間 📂位相幾何学

位相数学における関数空間

定義¹

位相空間$X$と$Y$に対して、次のように定義された積空間 $Y^{X}$を関数空間という。 $$ Y^{X} : = \prod_{x \in X} Y = \left\{ f \ | \ f : X \to Y \text{ is a function} \right\} $$

関数空間の位相となるものとして次がある:

$x \in X$と$Y$の開集合$U$に対して $$ S (x , U) = \left\{ f \in Y^{X} \ | \ f(x) \in U \right\} $$ としよう。部分基底$\left\{ S(x,U) \ | \ x \in X , U \subset Y \right\}$から生成される$Y^{X}$の位相をポイント・オープン位相^{point-Open topology}という。
コンパクト集合$K \subset X$と$Y$の開集合$U$に対して $$ S (K , U) = \left\{ f \in Y^{X} \ | \ f(K) \subset U \right\} $$ としよう。部分基底$\left\{ S(K,U) \ | \ K \subset X , U \subset Y \right\}$から生成される$Y^{X}$の位相をコンパクト・オープン位相^{compact-Open topology}という。

$(Y,d)$が距離空間であるとしよう。

コンパクト集合$K \subset X$と$\varepsilon > 0$に対して $$ B_{K} (f, \epsilon) = \left\{ g \in Y^{X} \ \left| \ \sup_{x \in K} \left\{ d(f(x),g(x)) \right\} < \varepsilon \right. \right\} $$ としよう。基底$\left\{ B_{K} (f, \varepsilon ) \ | \ K \subset X , \varepsilon > 0 \right\}$から生成される$Y^{X}$の位相をコンパクト収束位相^{topology of Compact Convergence}という。
一様距離 $$ \overline{ \rho } (f,g) : = \sup_{x \in X} \left\{ \min \left\{ d(f(x) , g(x) ) , 1 \right\} \right\} $$ から生成される距離空間$(Y^{X} , \overline{ \rho } )$の位相を一様位相^{uniform topology}という。

$\left\{ f_{n} : X \to Y \right\}$が$Y^{X}$における数列であるとするとき、定義域を$K \subset X$に制限した関数を$f_{n} |_{K} : K \to Y$と表すことにしよう。

[7]: $\left\{ f_{n} \right\}$が$Y^{X}$のポイント・オープン位相において$f$に収束する。$\iff$ すべての$x \in X$に対して$ f_{n} (x) $は$f(x)$に収束する。
[8]: $\left\{ f_{n} \right\}$が$Y^{X}$のコンパクト収束位相において$f$に収束する。$\iff$ すべてのコンパクト集合$K \subset X$に対して$f_{n} |_{K}$は$f |_{K}$に一様収束する。

定義域が位相空間$X$で、終域が距離空間$Y$である連続関数の集合を $$ C(X,Y) := \left\{ f \in Y^{X} \ | \ f \text{ is continuous} \right\} $$ とし、$C(X,Y)$を$Y^{X}$の部分空間としよう。

[11]: $C(X,Y)$の数列$\left\{ f_{n} \right\}$が$f \in Y^{X}$に収束すれば、$f : X \to Y$は連続関数である。

特に$C(X, \mathbb{R})$を$C(X)$のように表し、とりわけ$X$が区間のとき、すなわち$X=(a,b)$、$X=[a,b]$のときは、それぞれ$C(a,b)$、$C[a,b]$と表すこともある。

大まかに要約すれば、ポイント・オープン位相は小さい方で、一様位相は大きい方だと言える。

関数が一様連続であることを示すのに有用に使える。

一般位相を解析学の一般化と見たとき、事実として非常に重要である。