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유사벡터란

설명

물리학 공부를 하다 보면 유사벡터 혹은 수도벡터라는 말을 접할 수 있다. 중요한 점은 유사벡터를 접하기만 할 뿐 어떤 녀석인지 알기는 힘들다는 거다. 유사벡터가 뭔지 몰라도 학부 물리학을 공부하는데 아무 지장은 없다지만 제대로 설명해놓은 교재를 본 적이 없다. 나는 유사벡터의 특징을 배울 수 있도록 한 그리피스 전자기학의 연습문제에서 준벡터(Pseudovector) 라는 이름으로 유사벡터를 처음 접했다. 하지만 연습문제를 풀어보는 것 만으로는 유사벡터가 무엇인지 파악하기 어려웠다. 연습문제 보다는 줄글로 된 설명을 싣는게 더 좋았을거라는 생각이다. 우선 영칭을 보면 $\mathrm{Pseudo\ vector}$인데 이 때문에 슈우도벡터, 수도벡터라고도 부른다. $\mathrm{Pseudo}$의 뜻은 ‘허위의, 가짜의’이다. 즉 진짜 벡터가 아니라 비슷하지만 조금 다른 벡터라는 뜻이다.

수도 벡터란, 대칭변환을 할 때 변환하는 축의 성분은 부호가 바뀌지 않고, 변환하지 않는 축의 성분이 부호가 바뀌는 벡터를 말한다

이렇게 적어 놓으면 이해가 잘 되지 않을 것이다. 쉽게 말하자면 $xy$평면에 대한 대칭변환을 했을 때 $x$, $y$성분의 부호가 바뀌고 $z$성분의 부호는 그대로라는 뜻이다. 원점을 기준으로 대칭변환을 했을 때 아무 성분도 부호의 변화가 없다는 말이다. 이런 특징을 만족하는 벡터를 가리켜 유사벡터라고 한다.가장 대표적인 예로 두 벡터의 외적 이 있다. 따라서 외적으로 표현되는 물리량인 각운동량, 토크 등은 전부 유사벡터이다. 아래의 그림을 보면 쉽게 이해되겠지만 두 벡터의 외적은 대칭변환에 대해서 정상적으로 움직이지 않는다.

우리가 알고 있는 벡터는 위의 그림과 같이 대칭 변환된다. $xy$평면에 대해서 대칭변환 하면 $z$성분의 부호가 반대로 변한다. 벡터는 이런 성질을 만족하고 이런 성질을 만족해야 벡터라고 말할 수 있다.하지만 두 벡터의 외적은 이런 성질을 만족하지 않는다. 두 벡터의 외적 또한 하나의 벡터이다. 하지만 대칭변환 전 두 벡터의 외적과 대칭변환 후 두 벡터의 외적의 결과에는 차이가 있다.

${}^{\prime}$을 $xy$평면에 대해 대칭 변환한 벡터라는 의미로 사용하자. 그러면 위 그림을 보고 알 수 있듯이 $(\mathbf{A} \times \mathbf{B})^{\prime} \ne \mathbf{A}^{\prime} \times \mathbf{B}^{\prime}$이다. $xy$ 평면을 기준으로 대칭이동했을 때 $z$ 부호만 바뀌어야하는데 오히려 $z$ 부호는 그대로이고 $x$, $y$부호가 바뀐 것을 확인할 수 있다. 실제 계산으로 비교해보면 아래와 같다.

$xy$평면에 대하여 대칭

대칭 전	대칭 후	비고
$\mathbf{A}=(1,1,1)$	$\mathbf{a}^{\prime}=(1,1,-1)$	$x$, $y$ 성분 부호 그대로 $z$ 성분 부호 반대
$\mathbf{B}=(2,4,3)$	$\mathbf{B}’=(2,4,-3)$	$x$, $y$ 성분 부호 그대로 $z$ 성분 부호 반대
$\mathbf{A}\times \mathbf{B}=(-1,-1,2)$	$\mathbf{a}^{\prime}\times \mathbf{B}’=(1,1,2)$	$x$, $y$ 성분 부호 반대 $z$ 성분 부호 그대로

원점에 대하여 대칭A

대칭 전	대칭 후	비고
$\mathbf{A}=(1,1,1)$	$\mathbf{a}^{\prime}=(-1,-1,-1)$	$x$, $y$, $z$ 성분 부호 반대
$\mathbf{B}=(2,4,3)$	$\mathbf{B}’=(-2,-4,-3)$	$x$, $y$, $z$ 성분 부호 반대
$\mathbf{A}\times \mathbf{B}=(-1,-1,2)$	$\mathbf{a}^{\prime}\times \mathbf{B}’=(-1,-1,2)$	$x$, $y$, $z$ 성분 부호 그대로