📂추상대수

추상대수학에서의 몫군

정의 ¹

$H \subset G$ 의 모든 잉여류의 집합을 $G / H$ 라고 하자. $(aH) \ast\ (bH) = (ab) H$ 와 같이 잘 정의된 이항연산 $\ast$ 이 존재하면 $\left< G / H , * \right>$ 를 몫군^{factor group}이라 한다.

정리

$H \leqslant G$ 이라고 하자. $H \triangleleft G$ 인 것과 $G / H$ 는 군인 것은 동치다.

설명

$H \triangleleft G$ 라는 것은 $H$ 가 $G$ 의 정규부분군이라는 것이다.

이항연산 $\ast$ 는 잉여류의 대푯값끼리만 계산하는 이항연산으로써 집합 $G / H$ 가 몫군을 이루도록 한다. $G / H$ 이 왜 군이 되는지 직관적으로 이해가 되지 않는다면 잉여류부터 개념이 잘못 잡혀 있을 가능성이 높다.

증명

$( \implies )$ $(aH) (bH) = (ab) H$ 임을 보이면 된다.

$H$ 는 정규부분군이므로 $h_{1} b \in H b$ 면 $b h_{3} \in bH$ 를 만족하는 어떤 $h_{3} \in H$ 가 존재한다. $ah_{1} \in aH$ 와 $bh_{2} \in H$ 에 대해 $$ (ah_{1}) (b h_{2}) = a(h_{1} b)h_{2} = a b h_{3} h_{2} = ab (h_{3} h_{2}) \in (ab) H $$ 따라서 $(aH) (bH) \subset (ab) H$ 이고, 위의 과정을 거꾸로 하면 $(ab) H \subset (aH) (bH)$ 이므로 $$ (aH) (bH) = (ab) H $$

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$( \impliedby )$ $gH = Hg$ 임을 보이면 된다.

$x \in gH$ 그리고 $g^{-1} \in g^{-1} H$ 이라고 하면 $$ (xH) (g^{-1} H) = (x g^{-1}) H $$ 이므로 $h := x g^{-1} \in H$ 이어야한다. 한편 $x = hg$ 이므로 $$ x \in Hg $$ 따라서 $gH \subset Hg$ 이고, 위의 과정을 거꾸로 하면 $Hg \subset gH$ 이므로 $$ gH = Hg $$

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