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티호노프 정리 증명 📂위상수학

티호노프 정리 증명

정리

인덱스 집합 A\mathscr{A} 이 주어져 있다고 하자.

{Xα ∣ α∈A}\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\} 가 컴팩트 공간들의 집합이면 X:=∏α∈AXα\displaystyle X : = \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} X_{ \alpha} 는 컴팩트다.

설명

이름까지 붙은 정리치고는 일개 성질 나부랭이처럼 보이지만 사실 그 반대로 보는 게 맞다. 일개 성질 나부랭이처럼 보이지만 의외로 증명하기가 너무 어려워서 정리에 이름까지 붙어버린 것이다. 유용하기론 둘째가라면 서러운 컴팩트가 위상공간들의 데카르트 곱에 대해서도 유지된다는 것은 더할나위 없이 좋은 일이다.

증명

Uα⊂XαU_{\alpha} \subset X_{\alpha} 을 XαX_{\alpha} 의 오픈 셋이라 하고, 프로젝션 pα:X→Xαp_{\alpha} : X \to X_{\alpha} 에 대해 XX 의 곱위상을 생성하는 부분기저를 다음과 같이 정의하자. S:={pα−1(Uα) ∣ Uα⊂Xα,α∈A} \mathscr{S} : = \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( U_{\alpha} ) \ | \ U_{\alpha} \subset X_{\alpha} , \alpha \in \mathscr{A} \right\} 알렉산더 부분기저 정리를 이용하기 위해 S\mathscr{S} 의 모든 열린 커버가 유한 부분커버를 가짐을 보일 것이다.

알렉산더 부분기저 정리: XX 가 위상공간이라고 하자. XX 는 컴팩트다.   ⟺  \iff S\mathscr{S} 의 멤버들로 이루어진 XX 의 모든 열린 커버가 유한 부분커버를 갖게끔 하는 XX 의 어떤 부분기저 S\mathscr{S} 가 존재한다.

Part 1.

유한 부분커버를 갖지 않는 열린 커버 U⊂S\mathscr{U} \subset \mathscr{S} 가 존재한다고 가정해보자.

VV 는 XαX_{\alpha} 에서 열린 집합을 나타낸다고 하자. 모든 α∈A\alpha \in \mathscr{A} 에 대해 Uα={V∣pα−1(V)∈U} \mathscr{U}_{\alpha} = \left\{ V \mid p_{\alpha}^{-1} (V) \in \mathscr{U} \right\} 라 하면 U\mathscr{U} 는 다음과 같다. U=⋃α∈A{pα−1(V) ∣ V∈Uα} \mathscr{U} = \bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}} \left\{ p_{\alpha}^{-1} (V) \ | \ V \in \mathscr{U}_{\alpha} \right\}

Part 2. α∈A\alpha \in \mathscr{A} 에 대해 Uα\mathscr{U}_{\alpha} 가 XαX_{\alpha} 의 열린 커버가 아님을 보인다.

Uα\mathscr{U}_{\alpha} 가 XαX_{\alpha} 를 커버한다고 가정하자.

XαX_{\alpha} 는 컴팩트이므로 Xα=⋃i=1nUαi\displaystyle X_{\alpha } = \bigcup_{i=1}^{n} U_{\alpha_{i}} 를 만족하는 Uα1,⋯ ,Uαn∈UαU_{\alpha_{1}} , \cdots , U_{\alpha_{n}} \in \mathscr{U}_{\alpha} 가 존재한다. 그러면 {pα−1(Uαi) ∣ i=1,⋯ ,n} \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( U_{\alpha_{i}} ) \ | \ i = 1, \cdots , n \right\} 은 U\mathscr{U} 의 유한 부분커버가 되는데, 이는 Part 1에서 U\mathscr{U} 의 정의와 모순이다. 따라서 Uα\mathscr{U}_{\alpha} 는 XαX_{\alpha} 커버가 되지 못한다.

Part 3.

Uα\mathscr{U}_{\alpha} 는 XαX_{\alpha} 의 커버가 아니므로 모든 Uα∈UαU_{\alpha} \in \mathscr{U}_{\alpha} 에 대해 xα∉Uαx_{\alpha} \notin U_{\alpha} 를 만족하는 xα∈Xαx_{\alpha} \in X_{\alpha} 가 존재한다. 그러면 모든 U∈UU \in \mathscr{U} 에 대해 pα−1(xα)∉Up_{\alpha}^{-1} (x_{\alpha} ) \notin U 이고, U\mathscr{U} 는 XX 의 커버가 되지 못한다. 이는 유한 부분커버를 갖지 않는 열린 커버 U⊂S\mathscr{U} \subset \mathscr{S} 가 존재하지 않는다는 뜻이다. 알렉산더 부분기저 정리에 의해 XX 는 컴팩트다.

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