📂르벡공간

르벡공간에서의 민코프스키 부등식 증명

정리¹

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. $1 \le p < \infty$이고 $u, v \in L^{p}(\Omega)$ 이면,

$$\left\| u + v \right\|_{p} \le \left\| u \right\|_{p}+\left\| v \right\|_{p}$$

이를 민코프스키 부등식^{minkowski inequality}이라 한다.

설명

$\left\| \cdot \right\|_{p}$가 삼각 부등식을 만족하여 놈이 되고, $L^{p}$ 공간은 놈 공간이 된다는 의미를 갖는다. $p \ge 1$에 대해서 성립한다는 점에 주의하자.

증명

$p=1$인 경우에는 적분의 성질에 의해 자명하게 성립한다.

$$\int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| dx \le \int_{\Omega} \left| u(x) \right| dx + \int_{\Omega} \left| v(x) \right| dx$$

$1 \lt p \lt \infty$라고 하자. $w$를 $w \ge 0$이고 $\left\| w \right\|_{p^{\prime}} \le 1$인 함수라고 하자.

횔더 부등식

$\dfrac{1}{p} + \dfrac{1}{p^{\prime}} = 1$인 $1 \le p, p^{\prime} < \infty$에 대해서, 만약 $u \in L^p(\Omega)$, $v\in L^{p^{\prime}}(\Omega)$ 이면

$$\int_{\Omega} |u(x)v(x)| dx \le \| u \|_{p} \| v \|_{p^{\prime}}$$

그러면 횔더 부등식에 의해 다음이 성립한다.

$$\begin{align*} \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| w(x) dx \le & \int_{\Omega} \left| u(x) \right| w(x) dx + \int_{\Omega} \left| v(x) \right| w(x) dx \\ \le & \left\| u \right\|_{p} \left\| w \right\|_{p^{\prime}} + \left\| v \right\|_{p} \left\| w \right\|_{p^{\prime}} \\ \le & \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p} \end{align*}$$

따라서 다음의 식이 성립한다.

$$\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) + v(x) \right| w(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| w \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p}$$

횔더 부등식의 역: $L^{p}$ 함수일 충분조건

$\sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\} \lt \infty$가 성립하면, $$u\in L^{p}(\Omega) \quad \text{and} \quad \left\| u \right\|_{p} = \sup \left\{ \int_{\Omega} \left| u(x) \right| v(x) dx : v(x) \ge 0 \text{ on } \Omega, \left\| v \right\|_{p^{\prime}} \le 1 \right\}$$

위의 정리에 의해서,

$$\left\| u + v \right\|_{p} \lt \left\| u \right\|_{p} + \left\| v \right\|_{p}$$

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같이보기

• 유클리드 공간에서의 민코프스키 부등식