함수의 내적을 정적분으로 정의하는 이유
빌드업
내적의 일반적인 정의는 다음과 같다.
$H$를 벡터 공간이라고 하자. $x,y,z \in H$와 $\alpha, \beta \in \mathbb{C}$에 대해서 다음의 조건을 만족하는 함수
$$ \langle \cdot , \cdot \rangle \ : \ H \times H \to \mathbb{C} $$
를 내적이라 정의하고 $\left( H, \langle \cdot ,\cdot \rangle \right)$를 내적공간이라 한다.
- 선형성: $\langle \alpha x + \beta y ,z \rangle =\alpha \langle x,z\rangle + \beta \langle y,z\rangle$
- 켤레대칭성: $\langle x,y \rangle = \overline{ \langle y,x \rangle}$
- 정부호: $\langle x,x \rangle \ge 0 \quad \text{and} \quad \langle x,x \rangle = 0\iff x=0$
특히 함수 공간에서의 내적은 다음과 같이 정적분을 사용해서 정의한다.
$$ \langle f, g \rangle := \int_{a}^{b} f(x) g(x) dx $$
이렇게 정의하면 $\langle , \rangle$가 내적이 된다는 것은 쉽게 보일 수 있지만, 하필 왜 이렇게 정의하는지는 이해하기 어렵다. 각 성분끼리 곱한 것들의 합이라는 유클리드 공간에서 내적의 정의와 너무 동떨어져있기도 하고 전혀 실용적이지도 않아보이기도 한다. 하지만 알고보면 이러한 정의들은 굉장히 자연스러울뿐만 아니라 함수해석을 알아갈수록 아름답게 맞아떨어져간다.
예시
예시를 통해 이해해보자:
두 벡터 $\mathbf{f} = ( {\color{blue} 1} , {\color{orange} 5} , 0 , {\color{purple} 4} , {\color{red} 2} , {\color{Green} 1} )$와 $\mathbf{g} = ( {\color{blue} 9} , {\color{orange} 6} , 0 , {\color{purple} 1} , {\color{red} 2} , {\color{Green} 5} )$를 생각해보자. 내적을 계산하면
$$ \mathbf{f} \cdot \mathbf{g} = {\color{blue} 1 \cdot 9 } + {\color{orange} 5 \cdot 6} + 0 \cdot 0+ {\color{purple} 4 \cdot 1 } + {\color{red} 2 \cdot 2 } + {\color{Green} 1 \cdot 5} = 52 $$
이다. 벡터를 성분별로 쪼갠 크기를 막대그래프로 나타내면 다음과 같다.
$[-3,3]$에서 위의 막대 그래프 모양이 되도록 정의된 두 함수
$$ f(x) := \begin{cases} 1 & , -3 \le x \le -2 \\ 5 & , -2 \le x < -1 \\ 0 & , -1 \le x \le 0 \\ 4 & , 0 \le x < 1 \\ 2 & , 1 \le x < 2 \\ 1 & , 2 \le x \le 3 \end{cases} $$
$$ g(x) := \begin{cases} 9 & , -3 \le x \le -2 \\ 6 & , -2 \le x < -1 \\ 0 & , -1 \le x \le 0 \\ 1 & , 0 \le x < 1 \\ 2 & , 1 \le x < 2 \\ 5 & , 2 \le x \le 3 \end{cases} $$
를 생각해보자. 그러면
$$ f(x) g(x) = \begin{cases} 9 & , -3 \le x \le -2 \\ 30 & , -2 \le x < -1 \\ 0 & , -1 \le x \le 0 \\ 4 & , 0 \le x < 1 \\ 4 & , 1 \le x < 2 \\ 5 & , 2 \le x \le 3 \end{cases} $$
이므로, $\displaystyle \int_{-3}^{3} f(x) g(x) dx = 52$이고 놀랍게도 $\mathbf{f} \cdot \mathbf{g}$와 일치한다.
물론 모든 함수가 이렇게 사정좋게 생기진 않았지만, 적분가능한 함수라면 구분구적법의 아이디어를 적용시킬 수 있다. 애초에 정적분 자체가 쪼개고 곱하고 더하는 것을 포함하므로 ‘내적’이라고 불리는데에 부족함이 없다. 함수의 내적은 유한 차원 벡터의 내적을 무한 차원으로 일반화한 것으로 볼 수 있고, 확실하게 기존에 쓰던 내적의 개념에 커버된다.