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페아노 공간 충전 정리 증명

정리 ¹

$I = [0,1]$ 에 대해 전사 연속함수 $f : I \to I \times I$ 가 존재한다.

설명

짧지만 몹시 충격적인 정리다. 이 정리가 사실이라면 선만으로 평면을 구성할 수 있다는 뜻인데, 증명을 보고도 납득하기가 어려울 정도다.‘공간 충전 정리’라는 명칭은 일본에서 번역한 것을 임의로 쓴 것이다.

증명

Part 1.

다음 그림들과 같이 경로의 수열 $\left\{ f_{n} \right\}$ 을 정의한다.

$$f_{1} : I \to I \times I$$

$$f_{2} : I \to I \times I$$

$$f_{3} : I \to I \times I$$

그러면 $f_{n}$ 은 모든 $x \in I$ 에 대해 $$d ( f_{n}(x) , f_{n+1} (x) ) < {{1} \over {2^{n} }}$$ 이므로 코시다.

컴팩트 거리 공간의 동치조건: 거리공간이 컴팩트인 것과 완비이면서 완전 유계인 것은 동치다.

한편 $I \times I$ 는 거리공간이면서 컴팩트이므로 완비공간이고, $f_{n} (x)$ 는 $I \times I$ 의 어떤 점으로 수렴한다.

이제 $\displaystyle f(x) : = \lim_{n \to \infty} f_{n} (x)$ 라고 정의해보자. $f$ 가 전사 연속함수임을 보이면 증명은 끝난다.

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Part 2. $f$ 는 함수다.

모든 $x \in I$ 에 대해 $f(x)$ 가 유일하게 존재함을 보이면 된다.

• $I \times I$ 는 완비공간이므로 코시수열 $f_{n} (x)$ 는 수렴하고, $f(x) \in I \times I$ 는 항상 존재한다.
• $I \times I$ 는 거리공간이므로 하우스도르프 공간이고, $f(x)$ 는 유일하다.

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Part 3. $f$ 는 연속이다.

$f_{n}$ 이 $f$ 로 균등수렴함을 보이면 $f_{n}$ 이 연속이므로 $f$ 도 연속이다. 주어진 $\varepsilon > 0$ 에 대해서 $\displaystyle {{2} \over {2^{n_{0}} }} < \varepsilon$ 을 만족하도록 $n_{0} \in \mathbb{N}$ 를 잡자. 모든 $x \in I$ 에 대해 $\displaystyle d ( f_{n}(x) , f_{n+1} (x) ) < {{1} \over {2^{n} }}$ 이므로 $$d ( f_{n}(x) , f (x) ) < {{1} \over {2^{n} }}$$ 이다. 삼각부등식에 의해 $$d ( f_{n}(x) , f (x) ) < d ( f_{n}(x) , f_{n_{0}} (x) ) + d ( f_{n_{0}}(x) , f (x) ) < {{1} \over {2^{n_{0}} }} + {{1} \over {2^{n_{0}} }} = {{2} \over {2^{n_{0}} }} < \varepsilon$$ 즉 $f_{n}$ 은 $f$ 로 균등수렴하고, $f$ 는 연속이다.

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Part 4. $f$ 는 전사다.

모든 $y \in I \times I$ 에 대해 $y \in f(I)$ 임을 보이면 $f$ 는 전사다. $\left\{ f_{n} \right\}$ 의 정의에 따라 주어진 $y \in I \times I$ 에 대해 $$d(y, f_{m} (x) ) < {{ 1 } \over { 2^{m} }}$$ 을 만족하는 $x \in I$ 과 $m \in \mathbb{N}$ 가 존재한다. 그러면 $n \ge m$ 에 대해 $$d(y, f_{n} (x) ) \le d(y, f_{m} (x) ) + d(f_{m} (x) , f_{n} (x) ) < {{2} \over {2^{m}}}$$ 이제 주어진 $\epsilon > 0$ 에 대해 $\displaystyle {{3} \over {2^{n_{0}}}} < \epsilon$ 을 만족하는 $n_{0} > m$ 을 잡자. 삼각부등식에 의해 $$d ( y , f (x) ) < d ( y , f_{n_{0}} (x) ) + d ( f_{n_{0}}(x) , f (x) ) < {{2} \over {2^{n_{0}} }} + {{1} \over {2^{n_{0}} }} = { {3} \over { 2^{n_{0} } } } < \varepsilon$$ 즉 $B_{d} (y , \varepsilon ) \cap f(I) \ne \emptyset$ 인데, 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해서 $\displaystyle d ( y , f (x) ) < \varepsilon$ 이므로 $y \in \overline{ f(I) }$ 이다.

컴팩트와 연속함수: $f : X \to Y$ 에 대해 $X$ 가 컴팩트, $f$ 가 연속이라고 하자. $Y$ 가 하우스도르프면 $f$ 는 닫힌 함수다. 닫힌 집합 $C \subset X$ 에 대해 $f(C) \subset Y$ 는 닫힌 집합이다.

앞서서 Part 2.에서 $f$ 가 연속임을 보였으므로 $f(I)$ 는 $I \times I$ 에서 닫힌 집합이고, $y \in \overline{ f(I) } = f(I)$ 다. 따라서 $f : I \to I \times I$ 는 전사 연속함수다.

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