편미분 방정식 풀이를 위한 푸리에 급수
📂편미분방정식 편미분 방정식 풀이를 위한 푸리에 급수 정의 힐베르트 공간의 함수 f ∈ L 2 [ − π , π ] f \in \mathcal{L}^{2} [- \pi , \pi] f ∈ L 2 [ − π , π ] a k = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos k x d x \displaystyle a_{k} = {{1} \over {\pi}} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx a k = π 1 ∫ − π π f ( x ) cos k x d x b k = 1 π ∫ − π π f ( x ) sin k x d x \displaystyle b_{k} = {{1} \over {\pi}} \int_{- \pi}^{\pi} f(x) \sin kx dx b k = π 1 ∫ − π π f ( x ) sin k x d x
f ( x ) ∼ a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ ( a k cos k x + b x sin k x )
f(x) \sim {{a_{0}} \over {2}} + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k} \cos kx + b_{x} \sin kx \right)
f ( x ) ∼ 2 a 0 + k = 1 ∑ ∞ ( a k cos k x + b x sin k x )
를 f f f 푸리에 급수 fourier series 라 한다.
설명 테일러 급수가 어떤 함수를 다항식으로 근사시키는 것과 달리 푸리에 급수는 삼각다항식으로 근사시킨다. 이렇듯 복잡한 모양을 가진 푸리에 급수는 기존의 테일러 급수로 접근하기 힘든 온갖 함수에 적용할 수 있어 유용하다. 그러나 푸리에 급수는 수렴하는지에 대한 보장이 없으며, 수렴함을 보이더라도 정확히 f f f
이하 편의상 ∼ \sim ∼ = = = L 2 \mathcal{L}^2 L 2 L p \mathcal{L}^{p} L p p = 2 p=2 p = 2 f , g : [ − π , π ] → R f,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R} f , g : [ − π , π ] → R
< f , g > : = 1 π ∫ − π π f ( x ) g ( x ) d x ∥ f ∥ : = < f , f > : = 1 π ∫ − π π ∣ f ( x ) ∣ 2 d x
\left< f, g \right> := {{1} \over{\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) g(x) dx \left\| f \right\| : = \left< f, f \right> := \sqrt{ {{1} \over{\pi}} \int_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) \right| ^2 dx }
⟨ f , g ⟩ := π 1 ∫ − π π f ( x ) g ( x ) d x ∥ f ∥ := ⟨ f , f ⟩ := π 1 ∫ − π π ∣ f ( x ) ∣ 2 d x
기함수 sin k x \sin k x sin k x cos k x \cos k x cos k x k ≠ l k \ne l k = l < cos k x , cos l x > = < sin k x , cos l x > = 0 \displaystyle \left< \cos kx , \cos lx \right> = \left< \sin kx , \cos lx \right> = 0 ⟨ cos k x , cos l x ⟩ = ⟨ sin k x , cos l x ⟩ = 0 k = l k = l k = l < cos l x , sin l x > = < sin l x , cos l x > = 0 \displaystyle \left< \cos lx , \sin lx \right> = \left< \sin lx , \cos lx \right> = 0 ⟨ cos l x , sin l x ⟩ = ⟨ sin l x , cos l x ⟩ = 0 0 0 0 < cos l x , cos l x > ≠ 0 ≠ < sin l x , sin l x > \displaystyle \left< \cos lx , \cos lx \right> \ne 0 \ne \left< \sin lx , \sin lx \right> ⟨ cos l x , cos l x ⟩ = 0 = ⟨ sin l x , sin l x ⟩
위의 사실을 이용해서 < f , cos l x > f \left< f, \cos lx \right> f ⟨ f , cos l x ⟩ f
< f , cos l x > = a 0 2 < 1 , cos l x > + ∑ k = 1 ∞ ( a k < cos k x , cos l x > + b x < sin k x , cos l x > ) = a l
\left< f, \cos lx \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left< 1 , \cos lx \right> + \sum_{k=1}^{\infty} \left( a_{k} \left< \cos kx , \cos lx \right> + b_{x} \left< \sin kx , \cos lx \right> \right) = a_{l}
⟨ f , cos l x ⟩ = 2 a 0 ⟨ 1 , cos l x ⟩ + k = 1 ∑ ∞ ( a k ⟨ cos k x , cos l x ⟩ + b x ⟨ sin k x , cos l x ⟩ ) = a l
을 얻는다. 비슷하게 < f , sin l x > = b l \left< f , \sin lx \right> = b_{l} ⟨ f , sin l x ⟩ = b l
< f , 1 > = a 0 2 < 1 , 1 > = a 0 2 ∥ 1 ∥ 2 = a 0 2
\left< f , 1 \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left< 1, 1 \right> = {{a_{0}} \over {2}} \left\| 1 \right\| ^2 = {{a_{0}} \over {2}}
⟨ f , 1 ⟩ = 2 a 0 ⟨ 1 , 1 ⟩ = 2 a 0 ∥ 1 ∥ 2 = 2 a 0
이다.
f f f f f f < f ( x ) , cos n x > cos n x \left< f(x) , \cos nx \right> \cos nx ⟨ f ( x ) , cos n x ⟩ cos n x < f ( x ) , sin n x > sin n x \left< f(x) , \sin nx \right> \sin nx ⟨ f ( x ) , sin n x ⟩ sin n x 함수 f f f { cos n x , sin n x ∣ n ∈ N } \left\{ \cos nx , \sin nx \ | \ n \in \mathbb{N} \right\} { cos n x , sin n x ∣ n ∈ N }
우함수와 기함수의 성질을 이용하면 이뿐만이 아니라 아래의 공식을 통해 계산을 많이 줄일 수 있다.
f ∈ L 2 [ − π , π ] f \in \mathcal{L}^{2} [-\pi , \pi ] f ∈ L 2 [ − π , π ] a k = 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos k x d x \displaystyle a_{k} = {{2} \over {\pi}} \int_{0} \pi f(x) \cos kx dx a k = π 2 ∫ 0 π f ( x ) cos k x d x
f ( x ) ∼ a 0 2 + ∑ k = 1 ∞ a k cos k x
f(x) \sim {{a_{0 } } \over {2 }} + \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} \cos kx
f ( x ) ∼ 2 a 0 + k = 1 ∑ ∞ a k cos k x
f ∈ L 2 [ − π , π ] f \in \mathcal{L}^{2} [-\pi , \pi ] f ∈ L 2 [ − π , π ] b k = 2 π ∫ 0 π f ( x ) sin k x d x \displaystyle b_{k} = {{2} \over {\pi}} \int_{0} \pi f(x) \sin kx dx b k = π 2 ∫ 0 π f ( x ) sin k x d x
f ( x ) ∼ ∑ k = 1 ∞ b k sin k x
f(x) \sim \sum_{k=1}^{\infty} b_{k} \sin kx
f ( x ) ∼ k = 1 ∑ ∞ b k sin k x
한편 f , g : [ − π , π ] → C f,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{C} f , g : [ − π , π ] → C
< f , g > : = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) g ( x ) ‾ d x
\left< f, g \right> := {{1} \over{2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \overline{ g(x) } dx
⟨ f , g ⟩ := 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) g ( x ) d x
∥ f ∥ : = < f , f > : = 1 2 π ∫ − π π ∣ f ( x ) ∣ 2 d x
\left\| f \right\| : = \left< f, f \right> := \sqrt{ {{1} \over{2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} \left| f(x) \right| ^2 dx }
∥ f ∥ := ⟨ f , f ⟩ := 2 π 1 ∫ − π π ∣ f ( x ) ∣ 2 d x
f ( x ) ∼ ∑ k ∈ Z c k e i k x = ⋯ + c − 2 e − i 2 x + c − 1 e − i x + c 0 + c 1 e i x + c 2 e i 2 x + ⋯
f(x) \sim \sum_{k \in \mathbb{Z}} c_{k} e^{ikx} = \cdots +c_{-2}e^{-i 2 x } + c_{-1}e^{-i x } + c_{0} +c_{1}e^{i x } + c_{2}e^{i 2 x } + \cdots
f ( x ) ∼ k ∈ Z ∑ c k e ik x = ⋯ + c − 2 e − i 2 x + c − 1 e − i x + c 0 + c 1 e i x + c 2 e i 2 x + ⋯
c k = < f , e i k x > = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) e − i k x d x
c_{k} = \left<f , e^{ikx} \right> = {{1} \over {2 \pi}} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-ikx} dx
c k = ⟨ f , e ik x ⟩ = 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) e − ik x d x
오일러의 공식 에서 cos k x = e i k x + e − i k x 2 \displaystyle \cos kx = {{e^{ikx} + e^{-ikx} } \over {2}} cos k x = 2 e ik x + e − ik x sin k x = e i k x − e − i k x 2 i \displaystyle \sin kx = {{e^{ikx} - e^{-ikx} } \over {2i}} sin k x = 2 i e ik x − e − ik x
c k + c − k = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) ( e i k x + e − i k x ) d x = 1 2 π ∫ − π π f ( x ) ⋅ 2 cos k x d x = 1 π ∫ − π π f ( x ) cos k x d x = a k
\begin{align*}
c_{k} + c_{-k} =& {{1 } \over {2 \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \left(e^{ikx} + e^{-ikx} \right) dx
\\ =& {{1 } \over { 2 \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cdot 2 \cos kx dx
\\ =& {{1 } \over { \pi }} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx dx
\\ =& a_{k}
\end{align*}
c k + c − k = = = = 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) ( e ik x + e − ik x ) d x 2 π 1 ∫ − π π f ( x ) ⋅ 2 cos k x d x π 1 ∫ − π π f ( x ) cos k x d x a k
비슷하게 b k = i ( c k − c − k ) b_{k} = i (c_{k} - c_{-k}) b k = i ( c k − c − k )
따라서 겉보기엔 표준화 상수가 바뀐 것 같지만 실제로는 f , g : [ − π , π ] → R f,g : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R} f , g : [ − π , π ] → R
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