복원력과 1차원 단순 조화 진동자
단순 조화 운동1
용수철에 매달린 물체의 운동을 생각해보자. 용수철의 복원력에 의해서 왔다갔다하면서 진동한다. 이러한 운동을 조화 진동harmonic oscillation이라 한다. 조화 진동을 표현하는 함수인 $\sin$과 $\cos$을 아주 예전에는 조화 함수라고 불렀기 때문이다. 조화 진동 중에서도 마찰력이나 다른 외부의 힘은 전혀 없고 오직 용수철의 복원력에 의해서만 운동하는 경우를 단순 조화 진동simple harmonic oscillation이라 한다.우선 용수철에 의한 복원력이 어떻게 표현되는지를 구해보자. $V(x)$를 1차원 단순 조화 진동자의 포텐션 에너지라고 하자. 그리고 이를 다항식의 무한합, 급수로 표현된다고 가정해보자. 그러면 아래와 같이 표현할 수 있다.
$$ V(x)=a_{0} + a_{1}x + a_2x^2+ a_{3}x^3 + \cdots $$
그런데 두 퍼텐셜의 차이만이 물리적 의미를 가지기 때문에 상수항은 $0$이라 해도 무관하다. 평형점을 $0$이라고 두는 것과 같다. 또한 $-\dfrac{dV}{dx}=F(x)$이고 복원력은 $F(0)=0$이기 때문에 $V^\prime(0)=0$이다. 즉, 1차항의 계수는 $0$이어야 한다. 따라서 복원력의 퍼텐셜은 다음과 같다.
$$ V(x)=a_2x^2+a_{3}x^3+\cdots $$
$x$가 충분히 작을 때 3차항 이상의 항은 무시할 수 있다. 최종적으로 복원력을 구하면 아래와 같다.
$$ F(x)=-\dfrac{dV}{dx}=-2a_2x=-kx \ \ (k=2a_2) $$
이 때 $k$를 탄성계수 혹은 용수철 상수라고 한다. 그리고 $F(x)=-kx$를 후크의 법칙Hooke’s law2이라고 한다. 이제 복원력에 대한 운동방정식을 풀어보자. $F=ma=m\ddot{x}$이고 복원력은 $F=-kx$이므로 다음의 식을 얻는다.
$$ \begin{align*} && m \ddot{x} & =-kx \\ \implies && m \ddot{x} + kx &= 0 \\ \implies && \ddot{x} + \dfrac{k}{m}x &= 0 \end{align*} $$
이 때 ${\omega_{0}}^2 \equiv \dfrac{k}{m}$이라고 치환하자. 제곱으로 치환하는 이유는 마지막 식의 형태를 단순하게 만들기 위함이다. $\omega_{0}$를 계의 각진동수angular frequency라 한다. 감쇠 진동 시스템, 강제 진동 시스템에서 구분 짓기 위해서 고유 각진동수 혹은 고유 진동수라고 부르기도 한다. 이제 운동방정식은 아래와 같다.
$$ \ddot{x} + {\omega_{0}}^2x=0 $$
아래와 같은 2계 미분 방정식 $$ \dfrac{d^{2}X}{dx^{2}} = -\alpha^{2}X $$ 의 해는 다음과 같다.
$$ X(x) = Ae^{i\alpha x} + B e^{-i \alpha x} $$
따라서 아래와 같은 해를 얻는다.
$$ \begin{align*} x(t) &=A_{1}e^{i\omega_{0} t}+A_2e^{-i\omega_{0} t} \\ &=A_{3}\cos \omega_{0} t+ A_{4}\sin \omega_{0} t \\ &=A \cos (\omega_{0} t + \phi) \end{align*} $$
이때 $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$, $A$는 각각 임의의 복소수 혹은 실수 상수이다. 보통 3번째 식과 같이 코사인이나 사인함수의 형태로 많이 나타낸다.