📂고전역학

복원력과 1차원 단순 조화 진동자

단순 조화 운동¹

용수철에 매달린 물체의 운동을 생각해보자. 용수철의 복원력에 의해서 왔다갔다하면서 진동한다. 이러한 운동을 조화 진동^{harmonic oscillation}이라 한다. 조화 진동을 표현하는 함수인 $\sin$과 $\cos$을 아주 예전에는 조화 함수라고 불렀기 때문이다. 조화 진동 중에서도 마찰력이나 다른 외부의 힘은 전혀 없고 오직 용수철의 복원력에 의해서만 운동하는 경우를 단순 조화 진동^{simple harmonic oscillation}이라 한다.우선 용수철에 의한 복원력이 어떻게 표현되는지를 구해보자. $V(x)$를 1차원 단순 조화 진동자의 포텐션 에너지라고 하자. 그리고 이를 다항식의 무한합, 급수로 표현된다고 가정해보자. 그러면 아래와 같이 표현할 수 있다.

$$V(x)=a_{0} + a_{1}x + a_2x^2+ a_{3}x^3 + \cdots$$

그런데 두 퍼텐셜의 차이만이 물리적 의미를 가지기 때문에 상수항은 $0$이라 해도 무관하다. 평형점을 $0$이라고 두는 것과 같다. 또한 $-\dfrac{dV}{dx}=F(x)$이고 복원력은 $F(0)=0$이기 때문에 $V^\prime(0)=0$이다. 즉, 1차항의 계수는 $0$이어야 한다. 따라서 복원력의 퍼텐셜은 다음과 같다.

$$V(x)=a_2x^2+a_{3}x^3+\cdots$$

$x$가 충분히 작을 때 3차항 이상의 항은 무시할 수 있다. 최종적으로 복원력을 구하면 아래와 같다.

$$F(x)=-\dfrac{dV}{dx}=-2a_2x=-kx \ \ (k=2a_2)$$

이 때 $k$를 탄성계수 혹은 용수철 상수라고 한다. 그리고 $F(x)=-kx$를 후크의 법칙^{Hooke’s law2}이라고 한다. 이제 복원력에 대한 운동방정식을 풀어보자. $F=ma=m\ddot{x}$이고 복원력은 $F=-kx$이므로 다음의 식을 얻는다.

$$\begin{align*} && m \ddot{x} & =-kx \\ \implies && m \ddot{x} + kx &= 0 \\ \implies && \ddot{x} + \dfrac{k}{m}x &= 0 \end{align*}$$

이 때 ${\omega_{0}}^2 \equiv \dfrac{k}{m}$이라고 치환하자. 제곱으로 치환하는 이유는 마지막 식의 형태를 단순하게 만들기 위함이다. $\omega_{0}$를 계의 각진동수^{angular frequency}라 한다. 감쇠 진동 시스템, 강제 진동 시스템에서 구분 짓기 위해서 고유 각진동수 혹은 고유 진동수라고 부르기도 한다. 이제 운동방정식은 아래와 같다.

$$\ddot{x} + {\omega_{0}}^2x=0$$

계수가 음수인 2계 미분 방정식의 풀이

아래와 같은 2계 미분 방정식 $$\dfrac{d^{2}X}{dx^{2}} = -\alpha^{2}X$$ 의 해는 다음과 같다.

$$X(x) = Ae^{i\alpha x} + B e^{-i \alpha x}$$

따라서 아래와 같은 해를 얻는다.

$$\begin{align*} x(t) &=A_{1}e^{i\omega_{0} t}+A_2e^{-i\omega_{0} t} \\ &=A_{3}\cos \omega_{0} t+ A_{4}\sin \omega_{0} t \\ &=A \cos (\omega_{0} t + \phi) \end{align*}$$

이때 $A_{1}$, $A_{2}$, $A_{3}$, $A_{4}$, $A$는 각각 임의의 복소수 혹은 실수 상수이다. 보통 3번째 식과 같이 코사인이나 사인함수의 형태로 많이 나타낸다.

같이보기

• 감쇠 진동
• 강제 진동
• 다중 스프링 진동
• 결합 진동