📂상미분방정식

상수 계수의 2계 선형 동차 미분방정식과 특성방정식

정리¹

상수 계수의 2계 선형 동차 미분방정식 $a y^{\prime \prime} + by^\prime +cy=0$의 일반해는 다음과 같다.

$$y(x)=A e^{r_{1} x}+Be^{r_2 x}$$

이 때, $r_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}} {2a}$

따름정리

$a y^{\prime \prime} + cy = 0$의 해는 다음과 같다.

$$y(x) = A e^{i\sqrt{\frac{c}{a}} x}+Be^{-i\sqrt{\frac{c}{a}} x} = C\cos{\textstyle (\sqrt{\frac{c}{a}}x)} + D\sin{\textstyle (\sqrt{\frac{c}{a}}x)}$$

풀이

$$\begin{equation} a\dfrac{d^2}{dx^2}y+b\dfrac{d}{dx}y+cy = 0 \label{eq1} \end{equation}$$

우선 미분연산자 $D$를 다음과 같이 정의하자.

$$D:=\dfrac{d}{dx} \\ Df = D(f) = \dfrac{df}{dx}$$

그러면 $D$는 $D(ay_{1}+y_{2}) = a\dfrac{dy_{1}}{dx} + \dfrac{dy_{2}}{dx} = aDy_{1}+Dy_{2}$를 만족하기 때문에 선형 연산자이다. $D$를 이용하여 식$\eqref{eq1}$을 표현하면 다음과 같다.

$$\begin{align} &&aD^2y+bDy+cy&=0 \\ \implies&& (aD^2+bD+c)y&=0 \end{align}$$

이때 $Dy=ry$를 만족하는 상수 $r$이 있다고 하면 위 식으로부터 다음의 식을 얻는다.

$$(aD^2+bD+c) y = (ar^2+br+c) y = 0$$

우리는 $y \ne 0$인 해를 찾고 있으므로 다음의 조건을 얻는다

$$aD^{2} + bD + c = ar^{2}+br+c = 0$$

이 2차 방정식을 특성방정식^{characteristic equation}이라고 한다. 특성방정식의 해는 근의 공식으로부터 다음과 같다.

$$\begin{align*} r_{1} &= \dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}} {2a} \\ r_2 &=\dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}} {2a} \end{align*}$$

$r_{1}, r_{2}$가 서로 다른 두 실수라고 하자. 그러면 위의 식들로부터 다음의 식을 얻는다.

$$(aD^2 + bD+c)y=0 \implies \ a(D-r_{1})(D-r_2)y=0$$

• Case 1. $(D-r_{1})y=0$

  $\dfrac{dy}{dx}=r_{1}y$이고 변수분리법를 통해 $y$를 구하면

  $$y_{1}(x)=Ae^{r_{1}t}$$

• Case 2. $(D-r_2)y=0$

  비슷한 방법으로 $y$를 구하면

  $$y_{2}(x)=Be^{r_2t}$$

$y_{1}$과 $y_{2}$가 주어진 미분방정식의 해면 $y_{1}+y_{2}$도 해이므로 주어진 미분방정식의 일반해는

$$y(x)=y_{1}+y_{2}=Ae^{r_{1}t} + Be^{r_2t}$$

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