여기서 t는 시간, x는 위치, u(t,x)는 시간 t일 때 x에서의 파형을 나타낸다. f는 초기 조건으로써 특히 t=0일 때의 파형을 나타낸다.
설명
버거스 방정식은 은ut+uux=νuxx 에서 확산 계수 ν 가 0 인 경우를 나타낸다.
만약 f′(x)>0 이면 x 가 클수록 속도가 빠르다는 뜻이므로 특성 곡선은 위와 같이 스파스파rarefaction를 이룬다. (t,x) 에서의 기울기는 파동의 속도를 의미하는데, 스파스파를 이룬다는 것은 속도가 점점 커지거나 작아지기만 한다는 뜻이다. 이 경우 특성 곡선끼리는 절대로 만나지 않는다.
파형을 그려보면 위와 같이 빠른 점이 더 빠르게 가고 느린 점이 더 느리게 가므로 시간이 갈수록 점점 차이가 벌어진다.
한편 위와 같이 x 가 클수록 속도가 줄어드는 경우, 특성 곡선들은 위와 같이 교차하게 된다.
이 경우 파형을 보면 뒤에 있던 점들이 앞에 있던 점들을 앞질러 버리는 일이 발생하게 된다. 위 그림에선 t=1 일 때를 기점으로 u 가 주어진 x 에 대해 여러개의 값을 가지기 시작한다. 자연 현상에서의 예로는 파도가 생기는 상황을 상상해보면 도움이 될 것이다. 바닥쪽에서 앞서가고 있던 물은 모래나 자갈과 마찰하면서 느려지고 있지만 윗쪽은 힘을 받아서 진행되다 넘어간다. 이를 파열blow-up이라 하며 수학적으로는 함수가 아니게 되고 물리적으로는 동시에 여러 상태가 중첩된 것이다.
특성 곡선들이 스파스파를 이루는 경우는 해석이 너무 쉽기 때문에 주로 관심을 받는 것은 이 경우 뿐이다.해를 구하는 것 자체는 어렵지 않으나 양함수 꼴로 깔끔하게 바꾸는 게 어렵고, 그렇게 할 수 없는 경우가 부지기수다. 버거스 방정식의 풀이에는 해 외에도 파열 시간blow-up time 과 파열 위치blow-uP location를 구하는 것도 중요한 문제다. 비점성 버거스 방정식의 해가 존재한다면 풀이는 다음과 같다.
풀이
Step 1. ξ=x−tu 로 둔다.
Step 2. u=f(x−tu) 로 둔다.
그러면 ξ=x−tf(x−tu)=x−tf(ξ) 이므로 특성 직선은 x=f(ξ)t+ξ 가 된다. 모든 x∈R 에 대해 f′(x)>0 이면 특성 직선들은 스파스파를 이루며 만나지 않는다. f′(x)<0 인 x 가 존재하면 특성 직선들은 어떤 점에서 만나 그 점에서 파열한다.
Step 3. 초기 조건을 f(x−tu)=f(ξ) 의 꼴로 바꾼다.
만약 u=f(ξ)=f(x−tu) 를 양함수 꼴로 바꿀 수 있으면 바꾼다.
■
비점성 버거스 방정식의 해가 유한 시간 내에 파열한다면 그 시간과 위치는 다음과 같다
Step 1. u 를 양함수의 꼴로 구했다면 u 가 발산하는 t=t∗ 를 찾는다.
그 t∗ 이 파열 시간이 된다.
Step 2. 양함수의 꼴로 구하지 못했다면, f′(x) 를 구한다.
t∗:=inf{−f′(x)1f′(x)<0}
는 파열 시간이다.
Step 3. 특성 직선 x=f(ξ)t+ξ 와 x 축이 만나는 점 x0 를 찾는다.
x=f(ξ)t+ξ 에 ξ=x0 와 t=t∗ 을 대입해서 얻어지는 x∗=x0+f(x0)t∗ 는 파열 위치다.
■
예제
1
{ut+uux=0u(t,x)=α(x−tu)+β,t>0,t=0 의 파열 시간을 구하라.
u 가 양함수의 꼴로 깔끔하게 나타나는 유형이다.
u=α(x−tu)+β 를 u 에 대해 정리하면 u(t,x)=1+αtαx+β 이고 파열 시간은 t∗=−α1
■
2
{ut+uux=0u(t,x)=21π−tan−1x,t>0,t=0 의 파열 시간을 구하라.
