완전 미분방정식의 정의와 판별법
정의
다음과 같이 주어진 미분방정식
$$ M(x,y)+N(x,y)y^\prime=0 $$
에서
$$ \dfrac{\partial \psi }{\partial x}=M(x,y) \quad \And \quad \dfrac{\partial \psi }{\partial y}=N(x,y) $$
를 만족하는 $\psi=\psi (x,y)$가 존재하면 완전exact 미분방정식이라고 한다.
설명
주어진 미분방정식이 완전 미분방정식이면 미분방정식을 $\psi (x,y)$에 대한 전미분으로 나타낼 수 있다.
$$ \begin{align*} &&M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \\ \implies && \dfrac{\partial \psi }{\partial x}dx + \dfrac{\partial \psi }{\partial y}dy=0 \end{align*} $$
이 때 $d\psi (x,y)=\dfrac{\partial \psi }{\partial x}dx + \dfrac{\partial \psi }{\partial y}dy$ 이므로 $d\psi (x,y)=0$이다. 따라서
$$ \psi (x,y)=C,\quad \mathrm{C\ is\ constant} $$
즉, 미분방정식의 해가 $y=y(x)$꼴의 양함수로 표현되는 것이 아니라 $\psi (x,y)=C$꼴의 음함수로 나타난다. 한편 주어진 미분 방정식이 완전한지 아닌지는 아래의 정리에 따라 판별할 수 있다.
정리
함수 $M,\ N,\ M_{y},\ N_{x}$가 연속이라고 하자. 아랫 첨자는 해당 변수에 대한 편미분을 의미한다. 그러면 미분방정식
$$ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 $$
이 완전한 것은
$$ \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial N(x,y)}{\partial x} $$
인 것과 동치이다.
$$ M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 \mathrm{\ is\ exact} \iff M_{y}=N_{x} $$
증명
$(\implies)$
$M(x,y)dx+N(x,y)dy=0$가 완전하면 정의에 의해 다음을 만족하는 $\psi$가 존재한다.
$$ M(x,y)=\dfrac{\partial \psi }{\partial x} \quad \And \quad N(x,y)=\dfrac{\partial \psi }{\partial y} $$
각각 $y, x$에 대해서 편미분하면 다음과 같다. $$ \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial^2 \psi (x,y) }{\partial y \partial x} \quad \And \quad \dfrac{\partial N(x,y)}{dx}=\dfrac{\partial^2 \psi (x,y) } {\partial x \partial y} $$
연속성에 대한 가정에 의해 다음이 성립한다.
$$ \psi_{xy}=\psi_{yx} $$
따라서
$$ \dfrac{\partial M(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial^2 \psi (x,y) }{\partial y \partial x}=\dfrac{\partial^2 \psi (x,y) } {\partial x \partial y}=\dfrac{\partial N(x,y)}{dx} $$
즉,
$$ \dfrac{\partial M(x,y)}{dy}=\dfrac{\partial N(x,y)}{dx} $$
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$(\impliedby)$
$M_{y}=N_{x}$라고 가정하자. 그리고 다음을 만족하는 $\psi (x,y)$가 있다고 하자.
$$ \begin{equation} \psi_{x}=\dfrac{\partial \psi (x,y)}{\partial x}=M(x,y) \label{eq1} \end{equation} $$
그러면 $\psi (x,y)$가 $\psi_{y}=N$을 만족함을 보이면 증명이 끝난다. $\eqref{eq1}$의 양변을 $x$에 대해서 적분하면,
$$ \begin{equation} \psi (x,y) = \int _{x_{0}} ^{x} M(s,y) ds + h(y) \label{eq2} \end{equation} $$
$\psi$가 $x,y$에 대한 이변수 함수이므로 적분상수가 $C$가 아닌 $y$에 대한 함수 $h(y)$임을 주의하자. $h(y)$를 $x$에 대해서 미분하면 $0$이다. 이제 $\eqref{eq2}$의 양 변을 다시 $y$로 미분하면,
$$ \psi_{y}=\dfrac{\partial \psi (x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial }{\partial y}\int _{x_{0}} ^{x} M(s,y) ds + h^\prime (y) $$
위 식을 $h^{\prime}(y)$에 대해서 정리하면
$$ h^\prime (y) =\dfrac{\partial \psi (x,y)}{\partial y}-\dfrac{ \partial }{ \partial y}\int _{x_{0}} ^{x} M(s,y) ds \tag{3} $$
위 식을 잘 보면 좌변은 오로지 $y$에 대한 함수이다. 따라서 우변도 그렇다는 의미이고 이는 우변을 $x$로 미분하면 $0$이라는 말과 같다. 우변을 $x$에 대해서 미분하면
$$ \begin{align*} 0 &= \dfrac{\partial}{\partial x} \dfrac{\partial \psi}{\partial y} - \dfrac{\partial }{\partial x} \left[ \dfrac{\partial }{ \partial y} \left(\int_{x_{0}}^x M (s,y)ds \right) \right] \\ &= \dfrac{\partial }{\partial x} \dfrac{\partial \psi}{\partial y}-\dfrac{\partial M}{\partial y} \\ &= \dfrac{\partial }{\partial x}\dfrac{\partial \psi}{\partial y}-\dfrac{\partial N}{\partial x} \\ &= \dfrac{\partial }{\partial x} \left( \dfrac{\partial \psi}{\partial y}-N \right) \end{align*} $$
세번째 등호는 $M_{y}=N_{x}$라는 가정에 의해 성립한다. $N=N(x,y)$이고 $N$에 무관하게 $0$이되야하므로 마지막줄의 괄호는 $0$과 같다. 따라서
$$ \dfrac{\partial \psi}{\partial y}=N $$
따라서 $M_{y}=N_{x}$이면 $\psi_{x}=M \ \mathrm{and}\ \psi_{y}=N$인 $\psi (x,y)$가 존재하므로 주어진 미분방정식은 완전하다.
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