📂고전역학

물리학에서 운동 에너지, 퍼텐셜 에너지의 정의

운동 에너지¹

힘이 위치에만 의존할 때 즉, 속도나 시간에 대해 독립일 때, 입자의 직선운동의 운동방정식(미분방정식)은 아래와 같다.

$$ \begin{equation} F(x)=m\ddot{x} \label{force1} \end{equation} $$

이 때 가속도 $\ddot{x}$를 아래와 같이 속도에 대해서 표현할 수 있다.

$$ \begin{align*} \ddot{x} &= \dfrac{d \dot{x}}{dt} \\ &=\dfrac{dv}{dt} \\ &=\dfrac{dv}{dx} \dfrac{dx}{dt} \\ &=v\dfrac{dv}{dx} \\ &= \frac{1}{2}\frac{ d (v^{2})}{ dx } \end{align*} $$

이를 $(1)$에 대입하면

$$ F(x)=m\ddot{x}= m\frac{1}{2}\frac{d(v^{2})}{dx}=\frac{ d }{ dx }\left( \frac{1}{2}mv^{2} \right) $$

위 식의 괄호안의 물리량을 입자의 운동 에너지^{kinetic energy}라고 정의하고 $T$라고 표기하자.

$$ T=\dfrac{1}{2}mv^2 $$

그러면 운동 방정식 $(1)$은 아래와 같이 표현된다.

$$ F(x)=\dfrac{dT}{dx} $$

운동 에너지의 기호는 kinetic의 앞글자를 따서 $K$나 $E_{K}$로 쓰이기도 한다.

퍼텐셜 에너지

이제 함수 $V(x)$를 다음과 같이 정의하자.

$$ -\dfrac{dV(x)}{dx}=F(x) $$

위 식과 같이 정의되는 함수 $V(x)$를 퍼텐셜 에너지^{potential energy}라고 부른다². 그러면 운동 에너지와 같이 아래의 식으로 쓸 수 있다.

$$ -\frac{ d V(x)}{ d x}=F(x)=\frac{ d T}{ d x} $$

위 식을 처음 위치 $x_{0}$부터 나중 위치 $x_{1}$까지 적분하면 다음과 같다.

$$ -V(x_{1}) +V(x_{0}) =T_{1}-T_{0} $$

위 식이 의미하는 것은 물체가 운동하는 동안 퍼텐셜 에너지의 변화량과 운동 에너지의 변화량이 서로 크기는 같고 부호는 다르다는 것이다. 즉, 한 쪽이 증가하면 한 쪽이 같은 크기 만큼 감소한다. 이는 둘의 합이 항상 일정하다는 의미이다. 따라서 둘의 합을 입자의 총 에너지^{total energy} 혹은 역학적 에너지^{mechanical energy}라고 하고 $E$라고 표기하자.

$$ E=T_{0}+V(x_{0})=T_{1}+V_{x_{1}} $$

위 식을 에너지 방정식^{energy equation}이라 부른다. 위에서 봤듯이 힘을 위치에 대한 함수인 퍼텐셜 에너지 $V(x)$로부터 얻을 수 있는 경우에 입자의 역학적 에너지가 보존되므로, 그 힘을 보존력^{conservative force}이라 부른다. 보존력이 아닌 경우, 즉 위치에 따른 퍼텐셀 에너지가 존재하지 않는 경우 비보존력^{nonconservative force}이라 부른다. 비보존력이 물체에 작용하는 경우에는 물체의 역학적 에너지가 보존되지 않는다.