📂古典力学

物理学における運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの定義

導入¹

物体に力が作用すると物体の運動状態が変わる。物体が移動する過程で蓄積された力を仕事^workという。

$$ W_{\mathbf{a}\mathbf{b}} = \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} $$

ニュートンの第二法則と連鎖律により式を次のように展開できる。

$$ \begin{align*} W_{\mathbf{a}\mathbf{b}} &= \int_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} \\ &= \int m \mathbf{a} \cdot \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t \\ &= m \int \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} \cdot \mathbf{v} \mathrm{d}t \\ &\overset{4\text{th}}{=} \dfrac{m}{2} \int \dfrac{\mathrm{d}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})}{\mathrm{d}t} \mathrm{d}t = \dfrac{m}{2} \int \mathrm{d} v^{2} \\[1em] &= \dfrac{m}{2} \left[ v^{2} \right]_{\mathbf{a}}^{\mathbf{b}} \\[1em] &= \dfrac{m}{2} \left( v_{\mathbf{b}}^{2} - v_{\mathbf{a}}^{2} \right) \end{align*} $$

4つ目の等号は $\dfrac{\mathrm{d}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})}{\mathrm{d}t} = 2\mathbf{v} \cdot \dfrac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}$ により成り立つ。$v = \sqrt{\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}}$は物体の速さである。得られた式をもう一度見よう。

$$ W_{\mathbf{a}\mathbf{b}} = \dfrac{1}{2} m v_{\mathbf{b}}^{2} - \dfrac{1}{2} m v_{\mathbf{a}}^{2} \tag{1} $$

点 $\mathbf{a}$ から点 $\mathbf{b}$ まで行った仕事は、各点での運動状態 $\mathbf{v}_{\mathbf{a}}$ と $\mathbf{v}_{\mathbf{b}}$ で表される。したがってこの物理量を以下のように定義する。

定義

$\mathbf{v}$ の速度で直線運動する物体の 運動エネルギー^{kinetic energy} を次のように定義する。

$$ T = \dfrac{1}{2} m v^{2}, \quad v^{2} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} $$

運動量 $\mathbf{p} = m \mathbf{v}$ の形で表すと、

$$ T = \dfrac{p^{2}}{2m} , \quad p^{2} = \mathbf{p} \cdot \mathbf{p} $$

説明

運動エネルギーの記号は kinetic の頭文字にちなんで $K$ や $E_{K}$ として表されることもある。$(1)$ から、運動エネルギーとは静止した物体をその速度まで加速するのに必要な仕事の量であることが分かる。また運動エネルギーの定義から物体にした仕事はすなわち運動エネルギーの変化量に等しいという事実が得られる。

一方、導入で展開した式により次が成り立つ。これは仕事-運動エネルギーの定理の微分形でもある。

$$ \mathrm{d}T = \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r} \quad \text{or} \quad \dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} $$