미분 방정식의 분류
설명
미분방정식을 분류하는 기준은 여러 가지다. 크게 상미분 방정식인지 편미분 방정식인지로 구분한다. 그 다음 계수와 차수, 선형/비선형으로 더 세세하게 분류할 수 있다. 미분방정식을 분류하는 이유는 당연히 미분방정식을 풀기 위해서이다. 미분방정식의 분류에 따라 풀이 방법도 다르다.
상미분방정식과 편미분방정식
상미분방정식은 한 개 또는 그 이상의 종속 변수를 한 개의 독립 변수로 미분한 도함수만을 포함하는 미분방정식을 말한다. 흔히 ODEOrdinary Differential Equation으로 줄여 쓴다.
$$ \begin{align*} \dfrac{dy}{dx}&=2y-1 \\ \dfrac{d^2y}{dx^2}+3\dfrac{dy}{dx}-2y &=0 \\ \dfrac{dy}{dt}+\dfrac{dx}{dt}&=2c \end{align*} $$
편미분방정식은 한 개 또는 그 이상의 종속 변수를 두 개 이상의 독립변수로 미분한 도함수를 포함하는 미분방정식이다. 쉽게 말해서 편 도함수를 포함하는 미분 방정식이다. PDEPartial Differential Equation로 줄여쓴다. $u=u(x,t)$라고 할 때,
$$ \begin{align*} \dfrac{\partial u}{\partial x}-\dfrac{\partial u }{\partial t} =0 \\ \dfrac{\partial^2 u }{\partial x^2}=\dfrac{1}{c^2} \dfrac{\partial^2 u}{\partial t^2} \end{align*} $$
계수와 차수
계수order와 차수degree를 구분하지 않고 차수라고 칭하는 경우가 많으나 엄연히 다른 말이다. 의미가 아예 달라지므로 용어를 바르게 사용해야 한다. 2계도함수를 2차도함수라고 말하지 않음을 기억하자. 영어로 말하면 가장 확실하고 실제로 오더라는 말을 많이 쓴다.
미분 방정식에서 계수는 가장 큰 미분횟수 를 말한다. 빨간색으로 표시한 항이 미분 방정식의 계수를 결정한다.
$$ \begin{align} x^2 {\color{red} \dfrac{dy}{dx} }+y&=0 \label{eq1} \\ {\color{red}\dfrac{d^2u}{dx^2}}+2 \left( \dfrac{dy}{dx} \right) ^3&=5x \label{eq2} \end{align} $$
$(1)$은 1계 미분방정식, $(2)$는 2계 미분방정식이다. 미분 방정식에서 차수는 최고 계수항의 거듭제곱횟수 를 말한다. 빨간색으로 표시한 항이 미분 방정식의 차수를 결정한다.
$$ \begin{align} x^2 \left(\dfrac{d^{\color{blue}1}y}{dx^{\color{blue}1}} \right)^{\color{red}1} + y & =0 \label{eq3} \\ \left( \dfrac{d^{\color{blue}3}y}{dx^{\color{blue}3}} \right)^{\color{red}2} + x^2\dfrac{dy}{dx}&=0 \label{eq4} \\ \left( \dfrac{d^{\color{blue}2}y}{dx^{\color{blue}2}} \right)^{\color{red}3} + \left( \dfrac{dy}{dx} \right)^5+x^2y&=0 \label{eq5} \end{align} $$
$(3)$은 $\color{blue}1$계 $\color{red}1$차, $(4)$는 $\color{blue}3$계 $\color{red}2$차, $(5)$는 $\color{blue}2$계 $\color{red}3$차 미분정식이다.
선형과 비선형
미분방정식이 아래와 같은 꼴일 때 $\mathrm{n}$계 선형 미분방정식이라고 한다.
$$ a_{n}(x)\dfrac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \cdots + a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=f(x) $$
각 항의 계수가 독립변수 $x$에만 의존하면 선형이다. 즉 위와 같은 미분방정식을 $L(y)$라는 함수로 나타냈을 때 $L$이 선형함수이면 $L$로 표현되는 미분방정식을 선형이라 한다.
$$ x \dfrac{dy}{dx} $$
계수 중에서 종속변수 $y$에 의존하는 항이 하나라도 있으면 비선형 이다.
$$ L(y) = y\dfrac{dy}{dx}\\ \implies L(y+Y) = (y+Y)\left( \dfrac{dy}{dx} + \dfrac{dY}{dx} \right) \ne y\dfrac{dy}{dx} + Y\dfrac{dY}{dx}=L(y) + L(Y) $$
동차와 비동차
제차(비제차)라고 말하기도 하지만 동차(비동차)라는 말을 더 많이 쓴다. 다음과 같은 미분방정식이 주어졌다고 하자. $$ a_{n}(x)\dfrac{d^ny}{dx^n}+a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}}+ \cdots + a_{1}(x)\dfrac{dy}{dx}+a_{0}(x)y=f(x) $$
$f(x)=0$이면 동차homogeneous, $f(x) \ne 0$ 이면 비동차nonhomogenous, inhomogenous라고 한다. 당연하게도 동차 미분방정식이 훨씬 풀기 쉽다.