📂위상수학

중간값 정리 증명

정의 ¹

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$ 가 연속이면 $f(a)$ 와 $f(b)$ 사이의 $y_{0}$ 에 대해 $y_{0} = f(c)$ 를 만족하는 $c \in (a,b)$ 가 존재한다.

설명

대우 명제를 이용하면 $\mathbb{R}^2$ 상에서 특정한 조건을 만족한 두 도형을 연결하는 곡선이 없음을 보일 수 있다.

따름정리

한편 중간값 정리에는 다음과 같이 여러 유용한 따름정리가 있다.

방정식 $f(x)=0$ 의 해 존재성 판별법: 연속함수 $f:[a,b] \to \mathbb{R}$ 에 대해 $f(a) f(b) < 0$ 이면 $f(x) = 0$ 는 해 $x_{0} \in [a,b]$ 를 갖는다.

이 사실은 입시 수학에도 쓰이고 수치해석에서의 이분법 등에도 쓰이는 등 아주 중요하다.

중간값 정리의 고정점 정리 폼: $[a,b]$ 와 $f[a,b]$ 가 포함관계를 가지면 연속함수 $f$ 는 $[a,b]$ 에서 고정점을 가진다.

중간값 정리를 이용하면 간단하게 써먹기 편한 고정점 정리를 얻을 수 있다. 조건을 수식으로 나타내면 $[a,b] \subset f[a,b]$ 혹은 $f[a,b] \subset [a,b]$ 이고, 당연히 양쪽을 동시에 만족시킨 $f[a,b] = [a,b]$ 일 때도 성립한다. 보통 말하는 고정점 정리라고 하면 $f[a,b] \subset [a,b]$ 가 조건이기 때문에 $[a,b] \subset f[a,b]$ 일 때도 성립한다는 게 생소해보일 수도 있지만, 적어도 중간값 정리의 따름정리로 보았을 땐 과도하게 일반적인 조건을 생각해야 할 이유가 없으므로 당연한 팩트로 받아들여도 좋다.

증명

전략: 위상수학적인 보조정리들을 동원한다. 정말 중요한 정리지만 고등학교엔 증명 없이 받아들이고 해석학 때는 너무나 어렵게 증명하는 정리다. 상위의 이론을 쓰지 않는 증명도 나름 의미는 있지만 중간값 정리의 위상적 증명은 너무나 쉬워서 그 유혹을 떨치기 쉽지 않다.

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연결성은 위상적 성질이고 $f$ 가 연속이므로 $f[a,b]$ 도 연결공간이다.

$f(a) \in V^{\circ}$ 를 만족하는 모든 $V \subset Y$ 에 대해 $a \in (f^{-1} (V))^{\circ} $

연속함수의 성질에 의해 $f(c) = y_{0}$ 을 만족하는 $c \in (a,b)$ 가 존재한다.

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