📂측도론

영집합

정의 ¹

실수의 구간들의 집합 $\mathcal{I}$ 에 대해 함수 $l : \mathcal{I} \to [ 0 , \infty )$ 을 $l( I ) := \sup{I} - \inf{I}$ 와 같이 정의하고 길이^length라 하자. 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $$ A \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty} I_{n} \\ \sum_{n=1}^{\infty} l (I_{n}) < \varepsilon $$ 을 만족하는 구간의 수열 $\left\{ I_{n} \ | \ n \in \mathbb{N} \right\}$ 이 존재하면 $A \subset \mathbb{R}$ 를 영집합^{null set}이라고 한다.

설명

모든 구간들의 집합을 $\mathcal{I}$ 로, 모든 영집합의 집합을 $\mathcal{N}$ 으로 나타낸다.

영^null이나 공^empty이나 그 의미는 비슷하지만 분명히 다른 뉘앙스를 갖고 있음에 주의하도록 하자. 굳이 그 차이를 설명해보자면 Null은 ‘사실상’ 없는 것이나 마찬가지인, Empty는 ‘실제로’ 없는 느낌이라고 할 수 있다. 생각해보면 수학 외의 분야에서 진정한 ‘부재’는 쉽게 찾거나 증명하기 어려운 게 사실이다. 어떤 센스에서는 컴퓨터 공학에서 Empty 대신 Null이 쓰이는 이유라고 말해도 될 것이다. 예를 들어 변수가 선언된 후 어떤 값을 할당받지 못했다고 해도 그것은 추상적인 ‘허무’가 아니라 ‘무의미’한 상태라고 하는 식이다. 의미가 없으므로 메모리를 써가면서 보존할 이유가 없으며, 언제 사라져도 상관 없다. 위와 같은 구분에 따르면 이를 Null 이라고 부르는 것은 상당히 타당한 것으로 보인다. 영집합을 저렇게 정의하는 것은 어떤 집합이 비어있지는 않지만 ‘길이’라는 개념에 있어서는 사실상 무의미하다는 뜻이 된다.

정리

• [1]: 공집합은 영집합이다.
• [2]: 홑원소 집합은 영집합이다.
• [3]: 가산 집합은 영집합이다.

증명

[1]

$n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $I_{n} : = \emptyset$ 라고 하면 $$ \emptyset \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty} I_{n} \\ \sum_{n=1}^{\infty} l (I_{n}) = 0 < \varepsilon $$

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[2]

홑원소 집합 $\left\{ x \right\}$ 을 생각해보자. $n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $\displaystyle I_{n} : = \left( x - {{ \varepsilon } \over {2 \cdot 2^{n+1}}} , x + {{ \varepsilon } \over {2 \cdot 2^{n+1}}}\right)$ 라고 하면 자연스럽게 다음이 성립한다.

$$ \left\{ x \right\} \subset \bigcup_{n = 1}^{\infty} I_{n} \\ \sum_{n=1}^{\infty} l (I_{n}) = {{\varepsilon} \over {2}} < \varepsilon $$

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[3]

전략: 자연수를 유리수에 일대일 대응시키는 아이디어를 응용한 것이다. 한편 [3]의 이^inverse ‘비가산집합은 영집합이 아니다’는 반례로써 칸토어의 집합이 있어 거짓이다.

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정리 [1]에 따라 홑원소 집합이 영집합이므로, 영집합의 수열 $\left\{ N_{n} \right\}$ 에 대해 $\displaystyle N : = \bigcup_{n=1}^{\infty} N_{n}$ 이 영집합이면 된다. $N_{1}$ 이 영집합이므로

$$ \sum_{k=1}^{\infty} l (I_{(k,1)}) < {{\varepsilon} \over {2}} \\ N_{1} \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{(k,1)} $$ 을 만족하는 $\left\{ I_{(k,1)} \ | \ k \in \mathbb{N} \right\}$ 이 존재한다. 마찬가지로 $N_{n}$ 이 영집합이므로 $$ \sum_{k=1}^{\infty} l (I_{(k,n)}) < {{\varepsilon} \over {2^{n}}} \\ N_{n} \subset \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{(k,n)} $$ 을 만족하는 $\left\{ I_{(k,n)} \ | \ k \in \mathbb{N} \right\}$ 이 존재한다. $$ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 6 & 7 & \cdots \\ 3 & 5 & 8 & \ddots & \\ 4 & 9 & \ddots & & \\ 10 & \ddots & & \\ \vdots & & \end{bmatrix} \mapsto \begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & \cdots \\ (2,1) & (2,2) & (2,3) & \ddots & \\ (4,1) & (4,2) & \ddots & & \\ (5,1) & \ddots & & \\ \vdots & & \end{bmatrix} $$

위 행렬과 같이 인덱스를 준 구간의 수열 $J_{j} : = I_{(k,n)}$ 을 정의하면 $$ N = \bigcup_{n=1}^{\infty} N_{n} \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=1}^{\infty} I_{(k,n)} = \bigcup_{j=1}^{\infty} J_{j} $$ 그리고 $$ \sum_{j=1}^{\infty} l (J_{j}) = \sum_{n=1, k=1}^{\infty} l (I_{(k,n)}) = \sum_{n=1}^{\infty} \left( \sum_{k=1}^{\infty} l (I_{(k,n)}) \right) < \sum_{n=1}^{\infty} {{\varepsilon} \over { 2^{n} }} = \varepsilon $$ 이므로 $N$ 은 영집합이다.

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