하우스도르프 공간에서는 시퀀스의 극한이 유일하다
정리
$T_{2}$-공간 $X$ 상의 수열 $\left\{ x_{n} \right\}$ 은 둘 이상의 점으로 수렴하지 않는다.
설명
극한의 유일성에 대해서 그 중요함을 굳이 역설할 필요가 있을까 싶다. 이런 성질이 있다는 것부터가 하우스도르프 공간이 쓸만하다는 증거가 된다.
주의해야하는 것은 표현상 ‘단 하나의 점으로 수렴한다’와는 조금 차이가 있다는 것이다. 만약 그러한 표현을 쓰고 싶다면 ‘수열이 수렴한다면 단 하나의 점으로 수렴한다’라고 말을 고쳐 써야한다.
증명
$\left\{ x_{n} \right\}$ 이 서로 다른 두 점 $a,b \in X$ 모두에 수렴한다고 가정해보자.
$X$ 는 $T_{2}$-공간이므로 $$ a \in U \\ b \in V \\ U \cap V = \emptyset $$ 을 만족하는 열린 집합 $U, V \subset X$ 가 존재한다. 그러면 $$ n \ge n_{1} \implies x_{n} \in U \\ n \ge n_{2} \implies x_{n} \in V $$ 를 만족하는 $n_{1} , n_{2} \in \mathbb{N}$ 가 존재한다. 그러나 $$ n \ge \max \left\{ n_{1} , n_{2} \right\} \implies x_{n} \in U \cap V = \emptyset $$ 이므로, 이는 모순이다.
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