📂추상대수

클라인 사원군

정의 ¹

$V = \left\{ e, a, b, c \right\}$ 과 이항연산 $\cdot$ 에 대해, $\left< V , \ \cdot \ \right>$ 을 클라인 사원군^{klein 4-group}이라고 한다.

설명

보다시피 원소의 갯수가 항등원을 포함해서도 $4$ 개밖에 안 되기 때문에 굉장히 풍부한 성질을 갖지는 않는다. 하지만 계산이 별로 없고 독자적인 연산을 가진만큼 군의 개념을 체득하기엔 상당히 좋은 예시가 된다. $x \cdot x = e$ 즉, 모든 원소가 스스로를 역원으로 갖는다거나 $\left< x \right>$ 처럼 표현되지 않는 등의 성질은 부담없이 확인할 수 있다. 굳이 어디다 쓴다기보단, 그 존재 자체만으로도 군론을 이해하는데에 도움을 주는 군으로 생각하는 게 좋다.

앞서 언급한 것과 같이 $V$ 는 순환군이 아닌 유한군 중 가장 원소가 적은 군이다. 참고로, 가환군이 아닌 유한군 중 가장 원소가 적은 군은 정이면체군 $D_{3} = S_{3}$ 이다.