삼각함수의 덧셈정리 여러가지 증명
📂함수 삼각함수의 덧셈정리 여러가지 증명 정리 sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tan ( α + β ) = tan α + tan β 1 − tan α tan β tan ( α − β ) = tan α − tan β 1 + tan α tan β
\sin\left( \alpha +\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta +\cos\alpha \sin\beta
\\
\sin\left( \alpha -\beta \right) =\sin\alpha \cos\beta -\cos\alpha \sin\beta
\\
\cos\left( \alpha +\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta
\\
\cos\left( \alpha -\beta \right) =\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta
\\
\tan\left( \alpha +\beta \right) =\frac { \tan\alpha +\tan\beta }{ 1-\tan\alpha \tan\beta }
\\
\tan\left( \alpha -\beta \right) =\frac { \tan\alpha -\tan\beta }{ 1+\tan\alpha \tan\beta }
sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin ( α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos ( α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos ( α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tan ( α + β ) = 1 − tan α tan β tan α + tan β tan ( α − β ) = 1 + tan α tan β tan α − tan β
증명 코사인 법칙을 이용한 증명
피타고라스의 정리 에 의해
A B ‾ 2 = ( cos α − cos β ) 2 + ( sin α − sin β ) 2 = 2 − 2 cos α cos β – 2 sin α sin β
\begin{align*}
{\overline { AB } } ^{ 2 } =& {( \cos \alpha -\cos \beta )}^{ 2 }+{(\sin\alpha -\sin\beta )}^{ 2 }
\\ =& 2-2 \cos \alpha \cos \beta –2 \sin \alpha \sin \beta
\end{align*}
A B 2 = = ( cos α − cos β ) 2 + ( sin α − sin β ) 2 2 − 2 cos α cos β –2 sin α sin β
제2코사인 법칙에 의해
A B ‾ 2 = 1 2 + 1 2 − 2 cos ( β − α ) = 2 − 2 cos ( β − α )
\begin{align*}
{ \overline { AB } } ^{ 2 } =& 1^{ 2 }+1^{ 2 }-2\cos(\beta -\alpha )
\\ =& 2-2\cos(\beta -\alpha )
\end{align*}
A B 2 = = 1 2 + 1 2 − 2 cos ( β − α ) 2 − 2 cos ( β − α )
위 두 식의 우변은 서로 같으므로
cos ( β − α ) = cos α cos β + sin α sin β
\cos(\beta -\alpha )=\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta
cos ( β − α ) = cos α cos β + sin α sin β
■
가장 기본적인 증명법으로, 여러가지 방법이 있지만 가장 처음에는 보통 이 방법을 접한다.
벡터의 내적을 이용한 증명 cos ( β − α ) = O A ⃗ ⋅ O B ⃗ ∣ O A ⃗ ∣ ∣ O B ⃗ ∣ = cos α cos β + sin α sin β
\begin{align*}
\cos(\beta -\alpha ) =& \frac { \vec { OA }\cdot \vec { OB } }{ \left| \vec { OA } \right| \left| \vec { OB } \right| }
\\ =& \cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta
\end{align*}
cos ( β − α ) = = O A OB O A ⋅ OB cos α cos β + sin α sin β
■
벡터의 내적은 종이에다 쓰면 사실 한줄이나 마찬가지다. 아이디어도 간단하고 가장 쉬운 방법이다.
삼각형을 이용한 증명
(1) 삼각형의 넓이를 S S S
S = 1 2 a b sin ( α + β )
S=\frac { 1 }{ 2 }ab\sin(\alpha +\beta )
S = 2 1 ab sin ( α + β )
(2) 수선을 경계로 한 두 삼각형의 넓이를 더하면
S = 1 2 b h sin α + 1 2 a h sin β
S=\frac { 1 }{ 2 }bh\sin\alpha +\frac { 1 }{ 2 }ah\sin\beta
S = 2 1 bh sin α + 2 1 ah sin β
이때 h = b cos α = a cos β h=b\cos\alpha =a\cos\beta h = b cos α = a cos β
S = 1 2 a b cos β sin α + 1 2 a b cos α sin β
S=\frac { 1 }{ 2 }ab\cos\beta \sin\alpha +\frac { 1 }{ 2 }ab\cos\alpha \sin\beta
S = 2 1 ab cos β sin α + 2 1 ab cos α sin β
(1)과 (2)에서 구한 것은 모두 S S S 1 2 a b \frac { 1 }{ 2 }ab 2 1 ab
sin ( α + β ) = cos β sin α + cos α sin β
\sin(\alpha +\beta )=\cos\beta \sin\alpha +\cos\alpha \sin\beta
sin ( α + β ) = cos β sin α + cos α sin β
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삼각형의 넓이를 이용한 증명의 경우 아이디어는 단순하고
h h h 를 잘 다루는 것이 관건이다.
회전변환을 이용한 증명 A A A β \beta β
[ cos ( α + β ) sin ( α + β ) ] = [ cos β − sin β sin β cos β ] [ cos α sin α ] ⟹ { cos ( α + β ) = cos β cos α − sin β sin α sin ( α + β ) = sin β cos α + cos β sin α
\begin{bmatrix}
\cos(\alpha +\beta )
\\ \sin(\alpha +\beta )
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
{ \cos\beta }&{ -\sin\beta }
\\ { \sin\beta }&{ \cos\beta }
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} { \cos\alpha }
\\ { \sin\alpha }
\end{bmatrix}
\\ \implies \begin{cases}
\cos(\alpha +\beta )=\cos\beta \cos\alpha -\sin\beta \sin\alpha
\\ { \sin(\alpha +\beta )=\sin\beta \cos\alpha +\cos\beta \sin\alpha }
\end{cases}
[ cos ( α + β ) sin ( α + β ) ] = [ cos β sin β − sin β cos β ] [ cos α sin α ] ⟹ { cos ( α + β ) = cos β cos α − sin β sin α sin ( α + β ) = sin β cos α + cos β sin α
■
회전 변환을 이용한 증명이다. 각을 조금 다르게 설정해야하는데, 한번에 코사인과 사인에 대한 것을 동시에 얻을 수 있어 좋다.
따름정리 아래의 경우 생각보다 자주 쓰이기 때문에 외워두면 편리하다.
sin ( π 4 + π 6 ) = cos ( π 4 − π 6 ) = 3 + 1 2 2 sin ( π 4 − π 6 ) = cos ( π 4 + π 6 ) = 3 − 1 2 2
\begin{align*}
\sin(\frac { \pi }{ 4 }+\frac { \pi }{ 6 })=\cos(\frac { \pi }{ 4 }-\frac { \pi }{ 6 })=\frac { \sqrt { 3 }+1 }{ 2\sqrt { 2 } }
\\
\sin(\frac { \pi }{ 4 }-\frac { \pi }{ 6 })=\cos(\frac { \pi }{ 4 }+\frac { \pi }{ 6 })=\frac { \sqrt { 3 }-1 }{ 2\sqrt { 2 } }
\end{align*}
sin ( 4 π + 6 π ) = cos ( 4 π − 6 π ) = 2 2 3 + 1 sin ( 4 π − 6 π ) = cos ( 4 π + 6 π ) = 2 2 3 − 1 탄젠트의 덧셈 공식:
tan ( θ 1 ± θ 2 ) = tan θ 1 ± tan θ 2 1 ∓ tan θ 1 tan θ 2
\tan ( \theta_1 \pm \theta_2) = \dfrac{\tan\theta_1 \pm \tan\theta_2}{1 \mp \tan\theta_1\tan\theta_2}
tan ( θ 1 ± θ 2 ) = 1 ∓ tan θ 1 tan θ 2 tan θ 1 ± tan θ 2 탄젠트의 덧셈 공식 증명 tan ( θ 1 ± θ 2 ) = sin ( θ 1 ± θ 2 ) cos ( θ 1 ± θ 2 ) = sin θ 1 cos θ 2 ± sin θ 2 cos θ 2 cos θ 1 cos θ 2 ∓ sin θ 1 sin θ 2
\tan (\theta_1 \pm \theta2)=\dfrac{\sin ( \theta_1 \pm \theta_2)}{\cos ( \theta_1 \pm \theta_2)} =\dfrac{ \sin \theta_1 \cos \theta_2 \pm \sin \theta_2 \cos \theta_2}{\cos \theta_1 \cos\theta_2 \mp \sin\theta_1 \sin\theta_2}
tan ( θ 1 ± θ 2 ) = cos ( θ 1 ± θ 2 ) sin ( θ 1 ± θ 2 ) = cos θ 1 cos θ 2 ∓ sin θ 1 sin θ 2 sin θ 1 cos θ 2 ± sin θ 2 cos θ 2 cos θ 1 cos θ 2 \cos\theta_1\cos\theta_2 cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 cos θ 1 ± sin θ 2 cos θ 1 1 ∓ sin θ 1 sin θ 2 cos θ 1 cos θ 2 = tan θ 1 ± tan θ 2 1 ∓ tan θ 1 tan θ 2
\dfrac{ \dfrac{\sin \theta_1}{ \cos \theta_1} \pm \dfrac{\sin \theta_2}{ \cos \theta_1} } { 1 \mp \dfrac{\sin\theta_1 \sin\theta_2}{\cos\theta_1\cos\theta_2 }} = \dfrac{ \tan\theta_1 \pm \tan\theta_2}{1 \mp \tan\theta_1\tan\theta_2}
1 ∓ cos θ 1 cos θ 2 sin θ 1 sin θ 2 cos θ 1 sin θ 1 ± cos θ 1 sin θ 2 = 1 ∓ tan θ 1 tan θ 2 tan θ 1 ± tan θ 2
■
점 를 원점에 대해 만큼 회전변환하면