📂위상수학

위상수학에서 기저의 동치 조건

정의 ¹

집합 $X$ 에서 $\mathscr{B}$ 가 위상 $\mathscr{T}$ 에 대한 기저, $\mathscr{B} ' $ 가 위상 $\mathscr{T} ' $ 에 대한 기저라고 할 때, $\mathscr{T} = \mathscr{T} ' $ 이면 $\mathscr{B}$ 와 $\mathscr{B} ' $ 를 서로 동치^equivalent라 한다.

정리

기저의 동치는 아래의 두 가지를 만족시키는 것과 필요충분조건이다.

• (i): 모든 $B \in \mathscr{B}$ 와 $x \in B$ 에 대해, $x \in B ' \subset B$ 를 만족시키는 $B ' \in \mathscr{B} ' $ 가 존재한다.
• (ii): 모든 $B ' \in \mathscr{B} ' $ 와 $x' \in b '$ 에 대해, $x' \in B \subset b '$ 를 만족시키는 $B \in \mathscr{B}$ 가 존재한다.

설명

기저의 동치는 결국 같은 위상에 대한 기저가 유일하지는 않더라도 모두 거기서 거기라는 표현을 위해 만들어졌다. 기저를 ‘위상을 만들기 위한 재료’로 보았을 때, 결과적으로 만드는 위상이 같다면 둘을 구분하는 의미가 없기 때문에 $\mathscr{T} = \mathscr{T} ' $ 라는 조건은 ‘기저의 동치’를 말하기에 합리적인 조건이라 할 수 있다.

증명

$\mathscr{B}$ 와 $\mathscr{B} ' $ 를 각각 $\mathscr{T}$ 와 $\mathscr{T} ' $ 의 기저라고 하자.

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$( \implies )$

$\mathscr{B}$ 와 $\mathscr{B} ' $ 가 서로 동치이므로 $\mathscr{T} = \mathscr{T} ' $ 이고, $B \in \mathscr{B}$ 이고 $x \in B$ 를 생각할 수 있다. $$ B \in \mathscr{B} \subset \mathscr{T} = \mathscr{T}’ $$ 에서 $\mathscr{B} ' $ 가 $\mathscr{T} ' $ 의 기저이므로 $B$ 는 $\mathscr{B} ' $ 의 어떤 원소들의 합집합이다. $x \in B$ 라고 했으므로, $x \in B ’ \subset B$ 를 만족하는 $B ' \in \mathscr{B} ' $ 가 존재해서 조건 (i)을 만족하고, 정확히 같은 방법으로 (ii) 역시 만족함을 보일 수 있다.

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$( \impliedby )$

(i), (ii)가 성립한다고 하고, $\mathscr{T} \subset \mathscr{T} ' $ 를 보이기 위해 $U \in \mathscr{T}$ 이고 $x \in U$ 라고 하자.

$\mathscr{B}$ 는 $\mathscr{T}$ 의 기저이므로, $x \in B_{x} \subset U$ 를 만족하는 $B_{x} \in \mathscr{B}$ 이 존재한다. (i)에 따라 모든 $x$ 에 대해 $x \in B_{x} ' \subset B_{x}$ 를 만족하는 $B_{x} ' \in \mathscr{B} ' $ 가 존재하므로, $$ U = \bigcup_{x \in U} B_{x}’ $$ 가 성립하고, $\mathscr{T} \subset \mathscr{T} ' $ 임을 보였다. 정확히 같은 방법으로 $\mathscr{T} ' \subset \mathscr{T}$ 를 보일 수 있고, $\mathscr{T} = \mathscr{T} ' $ 를 얻는다.

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