📂정수론

원시 피타고라스 수끼리는 서로소다

정리

$a^2 + b^2 = c^2$ 를 만족하는 세 자연수 $a,b,c$ 에 대해 $\gcd (a,b,c) = 1$ 면 $$\gcd (a,b) = 1 \\ \gcd (b,c) = 1 \\ \gcd (c,a) = 1$$

설명

언뜻 피타고라스 수든 뭐든 당연해보이지만 공약수라는 걸 잘 생각해보면 그렇지만도 않다. 예로써 피타고라스 수라는 조건이 없으면 $\gcd (6,10,15) = 1$ 이지만 각 두 수끼리는 각자 공약수를 갖는다. 전략: 증명에는 아래의 두 보조정리가 기본적으로 전제된다.

피타고라스 수의 다른 표현: $a^2 + b^2 = c^2$ 를 만족하는 세 자연수 $a,b,c$ 에 대해 $$\begin{align*} a =& st \\ b =& {{s^2 - t^2 } \over {2}} \\ c =& {{s^2 + t^2 } \over {2}} \end{align*}$$ 를 만족하는 서로소인 두 홀수 $s>t$ 가 존재한다.

위 정리의 증명과정에서, $(a,b,c)$ 가 원시 피타고라스 트리플일 때 $\gcd (s,t) = 1$ 임을 얻을 수 있다.

어떤 수를 나누는 소수는 그 약수 중 적어도 하나를 나눈다: $n : = d_{1} d_{2} \cdots d_{r}$ 에 대해 $p \mid n$ 면 $p$ 는 $d_{1} , d_{2} , \cdots , d_{r}$ 중 하나를 나누어야한다.

증명

Part 1. $\gcd (a,b) = 1$

소수 $g$ 가 $$a = st \\ \displaystyle b = {{s^2 - t^2 } \over {2}}$$ 의 공약수라고 가정하자.

그러면 $g \mid st$ 이므로 $g \mid s$ 이거나 $g \mid t$ 이어야하고, $\displaystyle g \mid {{s^2 - t^2 } \over {2}}$ 이므로 $g \mid (s-t)$ 이거나 $\displaystyle g \mid {{s + t } \over {2}}$ 이어야한다. 여기서 $g \mid s$ 라고 하면 원시 피타고라스 수라는 가정에서 $\gcd (s,t)=1$ 이므로 $g \nmid t$ 다. 따라서 $$g \nmid (s-t) \\ g \nmid {{s + t } \over {2}}$$ 인데, 이는 모순이다.

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Part 2. $\gcd (b,c) = 1$

소수 $h$ 가 $$b = {{s^2 - t^2 } \over {2}} \\ c = {{s^2 + t^2 } \over {2}}$$ 의 공약수라고 가정하자.

그러면 $$h \mid {{s^2 - t^2 } \over {2}} \\ h \mid {{s^2 + t^2 } \over {2}}$$ 이므로 $$h \mid \left( {{s^2 - t^2 } \over {2}} - {{s^2 + t^2 } \over {2}} \right) \\ h \mid \left( {{s^2 - t^2 } \over {2}} + {{s^2 + t^2 } \over {2}} \right)$$ 이다. 정리하면 $$h \mid s^2 \\ h \mid t^2$$ 인데, 그러면 $\gcd (s,t) \ne 1$ 이므로 모순이다.

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Part 3. $\gcd (c,a) = 1$

소수 $k$ 가 $$a = st \\ c = {{s^2 + t^2 } \over {2}}$$ 의 공약수라고 가정하자.

그러면 $k \mid st$ 이므로 $k \mid s$ 이거나 $k \mid t$ 이어야하고, $\displaystyle k \mid {{s^2 + t^2 } \over {2}}$ 이다. 여기서 $k \mid s$ 라고 하면 원시 피타고라스 수라는 가정에서 $\gcd (s,t)=1$ 이므로 $k \nmid t$ 다. 따라서 $\displaystyle k \nmid {{s^2 + t^2 } \over {2}}$ 인데, 이는 모순이다.

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