原始ピタゴラス数どうしは互いに素である
定理
$a^2 + b^2 = c^2$を満たす三つの自然数 $a,b,c$について $\gcd (a,b,c) = 1$ ならば $$ \gcd (a,b) = 1 \\ \gcd (b,c) = 1 \\ \gcd (c,a) = 1 $$
説明
一見するとピタゴラス数であろうと何であろうと当然に見えるが、公約数というものをよく考えてみるとそうとも限らない。例として、ピタゴラス数という条件がなければ$\gcd (6,10,15) = 1$であるが、各二つの数どうしはそれぞれ公約数を持つ。 戦略: 証明には以下の二つの補助定理が基本的に前提される。
ピタゴラス数の別の表現: $a^2 + b^2 = c^2$を満たす三つの自然数 $a,b,c$について $$ \begin{align*} a =& st \\ b =& {{s^2 - t^2 } \over {2}} \\ c =& {{s^2 + t^2 } \over {2}} \end{align*} $$ を満たす互いに素な二つの奇数 $s>t$が存在する。
上の定理の証明過程において、$(a,b,c)$が原始ピタゴラストリプルであるとき $\gcd (s,t) = 1$ であることが得られる。
ある数を割り切る素数はその約数のうち少なくとも一つを割り切る: $n : = d_{1} d_{2} \cdots d_{r}$について $p \mid n$ ならば $p$は$d_{1} , d_{2} , \cdots , d_{r}$のうち一つを割り切らなければならない。
証明
Part 1. $\gcd (a,b) = 1$
素数$g$が $$ a = st \\ \displaystyle b = {{s^2 - t^2 } \over {2}} $$ の公約数であると仮定しよう。
すると$g \mid st$であるから$g \mid s$または$g \mid t$でなければならず、$\displaystyle g \mid {{s^2 - t^2 } \over {2}}$であるから$g \mid (s-t)$または$\displaystyle g \mid {{s + t } \over {2}}$でなければならない。ここで$g \mid s$とすれば、原始ピタゴラス数という仮定から$\gcd (s,t)=1$であるので$g \nmid t$である。したがって $$ g \nmid (s-t) \\ g \nmid {{s + t } \over {2}} $$ となるが、これは矛盾である。
Part 2. $\gcd (b,c) = 1$
素数$h$が $$ b = {{s^2 - t^2 } \over {2}} \\ c = {{s^2 + t^2 } \over {2}} $$ の公約数であると仮定しよう。
すると $$ h \mid {{s^2 - t^2 } \over {2}} \\ h \mid {{s^2 + t^2 } \over {2}} $$ であるから $$ h \mid \left( {{s^2 - t^2 } \over {2}} - {{s^2 + t^2 } \over {2}} \right) \\ h \mid \left( {{s^2 - t^2 } \over {2}} + {{s^2 + t^2 } \over {2}} \right) $$ である。整理すると $$ h \mid s^2 \\ h \mid t^2 $$ となるが、そのとき$\gcd (s,t) \ne 1$であるので矛盾である。
Part 3. $\gcd (c,a) = 1$
素数$k$が $$ a = st \\ c = {{s^2 + t^2 } \over {2}} $$ の公約数であると仮定しよう。
すると$k \mid st$であるから$k \mid s$または$k \mid t$でなければならず、$\displaystyle k \mid {{s^2 + t^2 } \over {2}}$である。ここで$k \mid s$とすれば、原始ピタゴラス数という仮定から$\gcd (s,t)=1$であるので$k \nmid t$である。したがって$\displaystyle k \nmid {{s^2 + t^2 } \over {2}}$となるが、これは矛盾である。
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