테일러 정리 증명
📂미분적분학테일러 정리 증명
정리
함수 f(x) 가 [a,b] 에서 연속이고 (a,b) 에서 n 번 미분가능하면 다음을 만족하는 ξ∈(a,b) 가 존재한다.
f(b)==k=0∑n−1k!(b−a)kf(k)(a)+n!(b−a)nf(n)(ξ)f(a)+(b−a)f′(a)+⋯+(n−1)!(b−a)n−1f(n−1)(a)+(n)!(b−a)nf(n)(ξ)
설명
수학 전반에서 너무나 중요하게 쓰이고 있는 정리로, 이 이름을 딴 테일러 급수가 있다. 미분을 n 번 한다는 의미에서는 평균값의 정리를 일반화한 정리라고 볼 수 있다.
관례적으로, 테일러 정리를 사용할 땐 c 가 아니라 ξ 를 사용한다.
증명
f(b):=0!(b−a)0f(a)+1!(b−a)1f′(a)+2!(b−a)2f′′(a)+⋯+(n−1)!(b−a)n−1f(n−1)(a)+(n)!(b−a)nc
라 하자. c=f(n)(ξ) 을 보이면 증명은 끝난다. 함수 g 를 다음과 같이 정의하자.
g(x):==−f(b)+f(x)+1!(b−x)1f′(x)+2!(b−x)2f′′(x)+⋯+(n−1)!(b−x)n−1f(n−1)(x)+(n)!(b−x)nc−f(b)+k=0∑n−1(k)!(b−x)kf(k)(x)+(n)!(b−x)nc
g 는 [a,b] 에서 연속, (a,b) 에서 미분가능하고 c 의 정의에 의해 g(b)=g(a)=0 이다.
롤의 정리: 함수 f(x)가 [a,b]에서 연속이고 (a,b)에서 미분가능하며 f(a)=f(b) 면 f′(ξ)=0를 만족하는 ξ가 (a,b) 에 적어도 하나 존재한다.
h(x) 를
h(x):=====[k=0∑n−1(k)!(b−x)kf(k)(x)]′[(0)!(b−x)0f(0)(x)+(1)!(b−x)1f(1)(x)+⋯+(n−1)!(b−x)n−1f(n−1)(x)]′[f(x)+(1)!(b−x)1f(1)(x)+⋯+(n−1)!(b−x)n−1f(n−1)(x)]′f(1)(x)−[f(1)(x)+(1)!(b−x)1f(2)(x)]+[−(1)!(b−x)1f(2)(x)+(2)!(b−x)2f(3)(x)]⋮+[−(n−3)!(b−x)n−3f(n−2)(x)+(n−2)!(b−x)n−2f(n−1)(x)]+[−(n−2)!(b−x)n−2f(n−1)(x)+(n−1)!(b−x)n−1f(n)(x)](n−1)!(b−x)n−1f(n)(x)
이라 두면 g′(x)=0+h(x)−(n−1)!(b−x)n−1c 이므로 롤의 정리에 의해
g′(ξ)===h(ξ)−(n−1)!(b−ξ)n−1c(n−1)!(b−ξ)n−1f(n)(ξ)−(n−1)!(b−ξ)n−1c0
을 만족하는 ξ 가 (a,b) 에 적어도 하나 존재한다. 따라서
⟹⟹(n−1)!(b−ξ)n−1f(n)(ξ)−(n−1)!(b−ξ)n−1c=(n−1)!(b−ξ)n−1f(n)(ξ)=f(n)(ξ)=0(n−1)!(b−ξ)n−1cc
c=f(n)(ξ) 을 보였으므로 증명이 끝났다.
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증명은 위와 같이 했으나 더 자주 사용하는 꼴은 다음과 같다. 물론 x∈[a,b] 이고 x0∈(a,b) 으로 두기 때문에 사실상 [x0,x]⊂[a,b] 가 된다.
테일러 정리
함수 f(x) 가 [a,b] 에서 연속이고 (a,b) 에서 n 번 미분가능하면 x0∈(a,b) 에 대해
f(x)=k=0∑n−1k!(x−x0)kf(k)(x0)+n!(x−x0)nf(n)(ξ)
를 만족하는 ξ∈(a,b) 가 존재한다.
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