📂미분적분학

테일러 정리 증명

정리¹

함수 $f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 $n$ 번 미분가능하면

$$ \begin{align*} f(b) =& \sum_{k=0}^{n-1} {{(b-a)^{k}\over{k!}}{f^{(k)}( a )}} + {(b-a)^{n}\over{n!}}{f^{(n)}(\xi)} \\ =& {f(a)} + {(b-a)f ' (a)} + \cdots + {(b-a)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(a)} + {(b-a)^{n}\over{(n)!}}{f^{(n)}(\xi)} \end{align*} $$

를 만족하는 $\xi \in (a,b)$ 가 존재한다.

설명

수학 전반에서 너무나 중요하게 쓰이고 있는 정리로, 이 이름을 딴 테일러 급수가 있다. 미분을 $n$ 번 한다는 의미에서는 평균값의 정리를 일반화한 정리라고 볼 수 있다.

관례적으로, 테일러 정리를 사용할 땐 $c$ 가 아니라 $\xi$ 를 사용한다.

증명

$$ \begin{align*} f(b) :=& {(b-a)^0\over{0!}}{f(a)} + {(b-a)^1\over{1!}}{f ' (a)} + {(b-a)^2\over{2!}}{f '' (a)} \\ &+ \cdots + {(b-a)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(a)} + {(b-a)^{n}\over{(n)!}}c \end{align*} $$

라 하자. $c={f^{(n)}(\xi)}$ 을 보이면 증명은 끝난다. 함수 $g$ 를 다음과 같이 정의하자.

$$ \begin{align*} g(x):=& -f(b) + f(x) + {(b-x)^1\over{1!}}{f ' (x)} + {(b-x)^2\over{2!}}{f '' (x)} \\ & + \cdots + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(x)} + {(b-x)^{n}\over{(n)!}}c \\ =& -f(b) + \sum_{k=0}^{n-1}{(b-x)^{k}\over{(k)!}}{f^{(k)}(x)} + {(b-x)^{n}\over{(n)!}}c \end{align*} $$

$g$ 는 $[a,b]$ 에서 연속, $(a,b)$ 에서 미분가능하고 $c$ 의 정의에 의해 $g(b)=g(a)=0$ 이다.

롤의 정리: 함수 $f(x)$가 $[a,b]$에서 연속이고 $(a,b)$에서 미분가능하며 $f(a)=f(b)$ 면 $f ' (\xi)=0$를 만족하는 $\xi$가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다.

$h(x)$ 를 $$ \begin{align*} h(x):=& \left[ \sum_{k=0}^{n-1}{(b-x)^{k}\over{(k)!}}{f^{(k)}(x)} \right] ' \\ =& \left[ {(b-x)^{0}\over{(0)!}}{f^{(0)}(x)} + {(b-x)^{1}\over{(1)!}}{f^{(1)}(x)} + \cdots + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(x)} \right] ' \\ =& \left[ f (x) + {(b-x)^{1}\over{(1)!}}{f^{(1)}(x)} + \cdots + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n-1)}(x)} \right] ' \\ =& f^{(1)} (x) - \left[ f^{(1)} (x) + {(b-x)^{1}\over{(1)!}}{f^{(2)}(x)} \right] \\ & + \left[ - {(b-x)^{1}\over{(1)!}} f^{(2)} (x) + {(b-x)^{2}\over{(2)!}}{f^{(3)}(x)} \right] \\ & \vdots \\ & + \left[ - {(b-x)^{n-3}\over{(n-3)!}} f^{(n-2)} (x) + {(b-x)^{n-2}\over{(n-2)!}}{f^{(n-1)}(x)} \right] \\ & + \left[ - {(b-x)^{n-2}\over{(n-2)!}} f^{(n-1)} (x) + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(x)} \right] \\ =& {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(x)} \end{align*} $$

이라 두면 $\displaystyle g ' (x) = 0 + h(x) + {(b-x)^{n-1}\over{(n-1)!}}c$ 이므로 롤의 정리에 의해

$$ \begin{align*} g ' (\xi) =& h(\xi) - {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c \\ =& {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(\xi)} - {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c \\ =& 0 \end{align*} $$

을 만족하는 $\xi$ 가 $(a,b)$ 에 적어도 하나 존재한다. 따라서

$$ \begin{align*} && {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(\xi)} - {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c =& 0 \\ \implies && {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}{f^{(n)}(\xi)} =& {(b-\xi)^{n-1}\over{(n-1)!}}c \\ \implies && {f^{(n)}(\xi)} =& c \end{align*} $$

$c={f^{(n)}(\xi)}$ 을 보였으므로 증명이 끝났다.

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증명은 위와 같이 했으나 더 자주 사용하는 꼴은 다음과 같다. 물론 $x \in [a,b]$ 이고 $x_{0} \in (a,b)$ 으로 두기 때문에 사실상 $[x_{0} , x] \subset [a,b]$ 가 된다.

테일러 정리

함수 $f(x)$ 가 $[a,b]$ 에서 연속이고 $(a,b)$ 에서 $n$ 번 미분가능하면 $x_{0} \in (a,b)$ 에 대해

$$ f(x) = \sum_{k=0}^{n-1} {{( x - x_{0} )^{k}\over{ k! }}{f^{(k)}( x_{0} )}} + {(x - x_{0} )^{n}\over{ n! }}{f^{(n)}(\xi)} $$

를 만족하는 $\xi \in (a,b)$ 가 존재한다.

같이보기

• 다변수 함수에 대한 테일러 정리